5.2. Об устойчивости решений относительно погрешностей

в исходных данных

Если математической моделью задачи является система линейных алгебраических уравнений, то следует иметь в виду, что ее коэффициенты имеют конкретный смысл. Они часто получаются в результате измерений и поэтому известны приближенно. Но тогда приходится решать систему, в которой известные величины заданы приближенно.

Не так уж редко в таких случаях малые погрешности в исходных данных вызывают достаточно большие погрешности в решениях, которые таким образом оказываются практически непригодными, неустойчивыми, а соответствующие им задачи плохо обусловленными.

Рассмотрим систему уравнений:

(5.4)

которая имеет единственное решение: . Считая в ней все коэффициенты, кроме 11, точными заменим 11 на 11,1, тогда система примет вид

(5.5)

единственным решением которой будет: .

Итак, малая погрешность в коэффициенте правой части первого уравнения системы (5.4) вызывает большие погрешности в решении. Это значит, что решение системы (5.4) неустойчиво.

Теперь обратимся к системе:

(5.6)

Она имеет единственное решение: .

Как и в предыдущем примере, будем считать все коэффициенты, кроме 39, точными. Заменим в системе (5.6) 39 на 39,1 и решив систему

(5.7)

найдём: х = 15,06, у = 12,02, т.е. малое изменение правой части первого уравнения системы (5.6) вызывает малые изменения в её решении. Значит, решение системы (5.6) устойчивое.

Конечно, при рассмотрении прикладных задач, важно знать, какое решение найдено: неустойчивое или устойчивое, добротное, которое может быть использовано на практике.

Рассмотрим задачу.

Определите молекулярную формулу оксида хлора, если при разложении м³ этого оксида получилось м³ кислорода и м³ хлора (н.у.). Относительная плотность этого оксида хлора по воздуху равна 2,34 [29, с.49].

Решение прикладной задачи, т.е. такой, условие которой содержит нематематические понятия, следует начинать с анализа данных. Так как величины объёмов содержат по одной значащей цифре, да и та в двух случаях равна 1, то достоверность этих данных слишком мала, а потому из условия задачи их лучше удалить, причём в этой задаче без ущерба для дела. Тогда относительная молекулярная масса будет . Теперь, записав искомую формулу в виде Сl_хО_у, для определения натуральных чисел и получим уравнение 35,5х + 16у ≈ 67,9, из которого очевидно, что не может быть больше 1, а потому и 16у ≈ 67,9 – 35,5 = 32,4. Учитывая, что – число натуральное, получим у = 2 и СlО₂ – формула оксида.

Отметим, что исходные данные задачи получают опытным путём. На эксперименты затрачиваются средства и время: в нашем случае для проведения реакции разложения нужно израсходовать некоторое количество вещества, измерить соответствующие объёмы и привести их к нормальным условиям (н. у.). В рассматриваемом решении эта информация не нужна, поэтому оно эффективнее экономически, да и экологически чище, так как не нужно работать с хлором.

Поскольку относительная плотность оксида хлора по воздуху находится экспериментально, её значение 2,34 является приближенным, но, несмотря на это, полученное решение является добротным, устойчивым по отношению к ошибкам в исходных данных: небольшие погрешности измерений не влияют на результат!

Действительно, пусть плотность равна 2,3 или 2,4 , тогда правая часть уравнения соответственно будет или . Но поскольку и – натуральные числа, то, рассуждая, как и выше, получим тот же результат. Решение устойчиво!

Теперь рассмотрим задачу:

какая соль и сколько граммов её получится, если для нейтрализации 112 г раствора, содержащего в массовых долях 0,1 гидроксида калия, израсходовали 18 г щавелевой кислоты ? (Сергеев С.А. Решения и ответы: К учебнику «Химия»: для 10 – 11 кл. сред. шк. / Рудзитис Г.Е., Фельдман Ф.Г. – Минск: Изд-во «АРТААЛ – ПРЕСС», 1997, С. 139).

Её решение, приведенное на с. 140 указанной книги, неустойчиво. Покажем это. Учитывая, что в результате реакции может образоваться как средняя так и кислая соль, запишем неполную схему

0,2 С₂Н₂О₄ + 0,2КОН → х С₂К₂О₄ + у С₂КНО₄ ,

в которой коэффициенты при исходных веществах взяты равными 0,2, так как количество вещества гидроксида калия г)/(56г/моль) = 0,2 моль и ( С₂Н₂О₄)= 18г/90 г/моль = =0,20 моль, а коэффициенты при продуктах реакции обозначены через и . На основании закона сохранения массы составим систему

решив которую найдём: х = 0, у = 0,2. Так как , то средняя соль не образуется. Следовательно, в результате реакции образуется 0,2 моль гидроксалата калия или 0,2 моль г/моль ≈ 0,09 кг (результат округлен до одной значащей цифры). Поскольку в условие входит данное 0,1, достоверность которого весьма мала, решение задачи устойчивым быть не может. Подтвердим это расчётом, заменив 0,1 на 0,11. В этом случае = = 0,22 моль,

n(С₂Н₂О₄) = 18г/90 г/моль = 0,20 моль – осталось без изменения. Теперь неполная схема реакции будет:

0,20 С₂Н₂О₄ + 0,22КОН → х С₂К₂О₄ + у С₂КНО₄ ,

а система уравнений примет вид

решая которую находим: х = 0,02, у = 0,18. Итак, в результате реакции в этом случае образуется как кислая, так и средняя соль, т.е. их смесь. Эти расчеты свидетельствуют о том, что рассматриваемая задача плохо обусловлена, а её решение неустойчиво: при малом изменении массовой доли 0,1 резко меняется результат даже качественно, т.е. изменяется и схема реакции, а вместе с ней и состав конечных продуктов.

Наука начинается с тех пор,

когда начинают измерять.

Д.И. Менделеев