3. Другие задачи

Физическая задача. Скорость автомобиля при торможении выражается формулой . Вычислите путь, пройденный автомобилем, если он остановился через 15 с после начала торможения (путь измеряется в метрах) (Математика в школе, №1, 1989, с. 54 – 55). Из условия задачи исключим число «15» и найдем из уравнения время, через которое после начала торможения автомобиль остановится, тогда получим: (с). Поскольку производная постоянная и отрицательная (движение при торможении равномерно – замедленное), а потому путь можно вычислить по формуле при

v(0)= 18, а = – 12 и t = 15, тогда найдем (м). Конечно, этот путь можно вычислить и интегрированием:

(15) = (м).

Задача экономического содержания.

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, второй – 150. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство.

Завод	Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед.
	1	2
1	15	20
2	8	25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозки машин так, чтобы общая стоимость транспортных расходов была бы наименьшей. В таблице указаны затраты на перевозку одной машины [17, с.55].

Эта задача уже рассматривалась в параграфе «оптимизационные модели». Здесь приводится решение без использования уравнений.

Исключим информацию о минимальных затратах, составляющих 7950 ден. ед., и найдем оптимальный план перевозки машин так, чтобы общая стоимость транспортных расходов была бы наименьшей.

Обозначим через – количество машин, поставляемых с  го завода му автохозяйству, и из экономических соображений включим в план самую дешевую перевозку (8 ден. ед. за одну машину) в максимально возможном количестве со второго завода в первое автохозяйство, , тогда , т. е. самые дорогие перевозки не осуществляются, что естественно при минимизации их стоимости. Но тогда: . Найденный план – оптимальный. Действительно, если уменьшим , то машин придётся перевозить по более высокой цене. А тогда стоимость перевозки возрастёт. Итак, экономический подход помог совсем просто найти решение рассматриваемой задачи.

В заключение этого параграфа подчеркнем, что, удаляя лишнее из условий задач, мы получаем более совершенные их формулировки и решения. Говорят, что знаменитый скульптор Роден на вопрос, как ему удается делать свои замечательные статуи, ответил: «Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее всё лишнее». Пожалуй, и не будет более подходящего случая, чтобы вспомнить эти слова, решая задачи, условия которых содержат лишнюю информацию.

Я слышу, и я забываю.

Я вижу, и я запоминаю.

Я делаю, и я понимаю.

Китайская пословица

§ 25. Вариант расчетно - графической работы

Предлагаемая работа связана с проблемой оптимизации, часто возникающей во многих сферах человеческой деятельности. Наиболее простыми задачами оптимизации являются такие, которые сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения функции, называемой целевой или критерием качества. Примеры задач такого рода рассмотрены нами ранее. В более сложных задачах необходимо сразу преследовать несколько целей. Например, если требуется установить оптимальные размеры бака объёмом , имеющего форму прямого кругового цилиндра, при изготовлении которого производится сварка швов по обоим основаниям и одной образующей, то здесь возникают две основные цели. Первая – минимизировать количество листового железа и вторая – минимизировать суммарную длину сварных швов. Нетрудно убедиться, что при заданном объёме эти цели противоречивы. Для многих задач практики такое противоречие удаётся разрешить сведением нескольких критериев (в нашем случае двух) к одному исходя из экономических соображений.

Действительно, если известна стоимость 1 м² листового железа и стоимость 1 м сварного шва (в них соответствующим образом учтены стоимости всех дополнительных видов работ), то задача будет сведена к минимизации одной целевой функции: стоимости изготовления бака. После такого предварительного обсуждения задачи мы можем описать её содержательную модель в виде текста:

Из листового железа стандартной толщины требуется изготовить закрытый бак заданного объема м³, имеющего форму прямого кругового цилиндра со швами, проходящими по границам обоих оснований и одной образующей.

Стоимость сварки одного метра шва – ден. ед. Стоимость одного квадратного метра железа – ден. ед.

Определить радиус основания м и высоту м бака так, чтобы его стоимость была наименьшей.

При этом необходимо:

1. составить математическую модель;

2. построить на ее основе вычислительный алгоритм или воспользоваться стандартным;

3. разработать программу или воспользоваться стандартной;

4. провести расчеты на ЭВМ, включая и необходимые для исследования устойчивости решений и оценки их точности;

5. проанализировать результаты расчетов и сделать выводы;

6. определить размеры бака так, чтобы минимальной была только стоимость железа;

7. определить размеры бака так, чтобы минимальной была только стоимость сварных швов;

8. используя результаты решения трех задач убедиться в справедливости основной теоремы системного анализа: "Если какая-либо система состоит из нескольких, связанных между собой подсистем, то оптимум всей системы не определяется оптимумом каждой из подсистем".

Решение.

1.Для построения математической модели обозначим радиус основания цилиндра через , тогда его высота будет , площадь полной поверхности , общая длина швов , стоимость изготовления бака .

Теперь математическая модель задачи может быть описана так: требуется найти такие при которых функция принимает наименьшее значение. Подчеркнем, что в нашей модели все участвующие в ней величины безразмерные, так как они выражают только численные значения именованных величин ( м³), ( м) и других, выраженных через одни и те же основные единицы: в нашей задаче – это единица длины метр (м) и ден.ед., а потому эта модель – математическая.

2. Учитывая, что целевая функция унимодальная, и так как вторая производная >0, для построения вычислительного алгоритма можно воспользоваться таким методом. Возьмем начальную точку вблизи начала координат и некоторый шаг и будем последовательно вычислять значение в точках , сравнивая получaемые числа , , , … , которые сначала будут убывать, а затем возрастать.

Это означает, что найдётся такой отрезок [ ], на котором достигается наименьшее значение функции и его можно принять равным , причём значение будет вычислено с точностью . Если требуемая точность решения задачи еще не обеспечена, то следует уменьшить шаг в несколько раз и повторить описанную процедуру, начиная с .

Конечно, для определения точки минимума можно было найти производную, приравнять её к нулю и решать полученное уравнение, например с помощью алгоритма половинного деления.

3. На этом этапе по соответствующему алгоритму составляется программа вычисления .

4. Приведем таблицу 25.1 значений функции при а = 15,

b = 30, V = 0,25, начиная со значения с шагом вычислений 0,05.

Таблица 25.1– значений с шагом, равным

	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35
	787,4	290	185,6	150,1	138	136,8	141,7

Из таблицы 25.1 следует: .

Таблица 25.2 – значений с шагом, равным 0,01, начиная с

	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29	0,30
	138	137,1	136,6	136,35	136,43	136,8

Из таблицы 25.2 следует: .

С точностью до 0,01 можно принять = 0,28.

Теперь найдем производную и убедимся в том, что и , что также подтверждает наличие минимума при .

В этой связи отметим, что задача нахождения безусловного минимума (или экстремума) целевой функции несколько отличается от задачи нахождения точки минимума (экстремума). Дело в том, что в точке минимума функции производная равна нулю и потому малая погрешность при определении точки минимума или (экстремума) влечёт за собой погрешность второго порядка малости для минимума функции. «Таким образом, если цель исследования состоит лишь в том, чтобы придать функции по возможности меньшее значение, то не требуется слишком точно находить точку минимума, так как это практически не повлияет на значение функции» [24, с. 67], что наглядно представлено на рисунке 25.1.

Рисунок 25.1 – График функции : здесь и на следующем

рисунке запись вида 1.2Е2 на оси ординат означает число 1.2*10².

5. С помощью расчетов легко убедиться в том, что при и с точностью до одной сотой и в этих случаях = 0,28. Это также видно и на рисунке 25.2, на котором верхний график соответствует , средний и нижний , т.е. при погрешностях, не превышающих единицы последнего сохраненного разряда, практически не меняется и равен 0,28, что характеризует устойчивость результата. Для большей наглядности график на рисунке 25.2 растянут в вертикальном направлении.

Рисунок 25.2 – Графики, поясняющие устойчивость значения = 0,28

Проведенный анализ позволяет сформулировать результат в терминах исходной задачи и дать практическую рекомендацию. При изготовлении бака следует учитывать его оптимальные размеры: радиус основания бака должен быть примерно равен 0,28 м, высота 1,0 м. В этом случае стоимость бака составит около 136 ден. ед.

6. Определение размеров бака по критерию минимума стоимости железа. Чтобы найти оптимальное для этого случая значение радиуса основания бака достаточно минимизировать функцию при . Расчет показывает, что при этом условии = 0,34.

Очевидно также, что указанный критерий равносилен минимуму площади полной поверхности бака. Математическая модель такой задачи нами была построена в §7, где решение получено в виде формул: , . Если по этим формулам при вычислить и , то найдем: , что совпадает с результатами, полученными при анализе функции стоимости . Этот факт служит некоторым подтверждением правильности расчетов с помощью указанной функции.

График площади полной поверхности при представлен нижней кривой рисунка 25.3, на котором также видно, что приближенно .

Рисунок 25.3– Верхний график выражает зависимость длины швов от

радиуса, нижний – зависимость площади полной поверхности бака

от радиуса

7. Определение размеров бака по критерию минимума стоимости сварных швов. Чтобы найти оптимальное для этого случая значение радиуса основания бака достаточно минимизировать функцию при . Расчет показывает, что при этом условии = 0,23.

Очевидно также, что указанный критерий равносилен минимуму суммарной длины сварных швов. Обозначим радиус основания цилиндра через , а его высоту через и запишем формулы для объема бака и суммарной длины сварных швов:

, .

Отсюда .

Таким образом, мы пришли к следующей математической модели: найти такое , при котором принимает наименьшее значение.

Так как , то, решая уравнение , находим , .

При найденном , функция принимает наименьшее значение, поскольку как при очень малых, так и при очень больших значениях суммарная длина будет большой. Так как только при одном значении , то ему и соответствует наименьшая длина сварных швов.

Если по формулам , при вычислить и то получим: что совпадает с результатами, полученными при анализе функции стоимости . Этот факт также служит некоторым подтверждением правильности расчетов с помощью указанной функции.

График суммарной длины швов при представлен верхней кривой на рисунке 25.3, на котором также видно, что приближенно .

Главную (общую) задачу, сформулированную в работе, можно рассматривать как систему, состоящую из двух подсистем, подзадач указанных в пунктах 6 и 7.

Так как 0,23 < 0,28 < 034, то результаты решения трех задач подтверждают справедливость основной теоремы: "Если какая-то система состоит из нескольких, взаимодействующих (связанных) между собой подсистем, то оптимум (наилучшие условия) для всей системы не определяется оптимумом для каждой из подсистем".

А вот как иллюстрирует сущность этой теоремы с помощью простого мысленного эксперимента Ю. Поспелов в статье «Пока что взгляд не дальше «хуторка» (Газета «Правда» от 19 сентября 1990г). «Пусть мы имеем два одинаково заряженных шарика и конусообразную чашку. Если в чашку положить один шарик, то он упадет на самое дно. Но если в чашку опустить сразу два шарика, то они, отталкиваясь, друг от друга, не могут одновременно занять положение на дне чашки: они немного поднимутся, что, конечно, не отвечает оптимальному положению для каждого шарика в отдельности.

Эта важнейшая теорема системного анализа носит настолько общий характер, что приложима ко многим практическим (и часто практически важным) проблемам, а забвение ее ведет к неправильным выводам и решениям. Нельзя брать обособленно от других, какую - то одну подсистему и оптимизировать ее, надеясь получить наилучшее решение для этой подсистемы. Часто бывает просто обидно за честных и добросовестных людей, оптимизирующих какой-то отдельно взятый «хуторок», а потом удивляющихся, что ничего хорошего из их благих побуждений не получилось».