16.3. Механическая модель св

Для лучшего понимания свойств случайных величин, как дискретных, так и непрерывных или смешанных, полезной является механическая модель, имитирующая такое распределение единичной массы на числовой оси, при котором масса любого её интервала численно равна вероятности попадания СВ в этот интервал. В частности, если СВ – дискретная, то она моделируется системой материальных точек, абсциссы которых совпадают со значениями СВ, а массы с их вероятностями. Очевидно, в механической модели математическое ожидание СВ совпадает с абсциссой центра масс соответствующего распределения, дисперсия – с центральным моментом инерции, а плотности вероятности соответствует плотность распределения массы. В случае непрерывной СВ вероятность её попадания в интервал, как и соответствующая масса, выражается определённым интегралом , а математическое ожидание, как и абсцисса центра масс:

В заключение построим задачи и решим её: Два охотника и одновременно выстрелили в медведя, который был убит, и в его шкуре обнаружена только одна пробоина. Шкуру продали за 42 $. Как по справедливости разделить эту сумму между и , если вероятности их попадания таковы:

Ясно, что вырученные деньги несправедливо поделить в отношении 0,8:0,4 = 2:1, так как при том же отношении Р(А):Р(В) =1:0,5=2:1, где Р(А) =1 и Р(В) = 0,5, все деньги должен получить охотник . При построении модели следует учесть, что пробоина в шкуре одна.

Событием, что ( и ) попали в одно и тоже место мы пренебрегаем, как маловероятным и в модели считаем, что в медведя попал только один из них. Так как они стреляли независимо друг от друга, то в соответствии с принципом независимости и . Именно пропорционально этим вероятностям, т.е. в отношении 0,48:0,08=6:1 и надо по справедливости разделить 42 $ между и . Тогда получит ($), а в шесть раз больше, т.е. 36 $.

А.А. Маркову принадлежит заслуга

построения вероятностной схемы,

непосредственно обобщающей

детерминистическую схему…

А.Н. Колмогоров

§ 17. Схема бернулли. Цепь а.А. Маркова

17.1. Схема Бернулли

Рассмотрим одну из главных математических моделей, называемую в теории вероятностей схемой Бернулли, для чего сначала сформулируем несколько задач, решения которых основываются на одной и той же модели.

Задача 1. Вероятность приживания саженца яблони равна . Найти вероятность того, что из посаженных яблонь приживётся ровно яблонь.

Задача 2. Вероятность брака равна . Найти вероятность того, что среди взятых на контроль изделий ровно окажутся бракованными.

Задача 3. Вероятность попадания при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при выстрелах будет ровно попаданий.

Приведённые здесь задачи, как и многие другие при соответствующих уточнениях, могут быть решены на основе одной и той же математической модели общей задачи:

Вероятность появления события в каждом опыте постоянна и равна . Найти вероятность того, что в серии из независимых испытаний раз появляется событие и раз событие не появляется.

В этой задаче речь идёт о последовательности независимых испытаний, т.е. таких, в которых вероятности появления события или не не зависят от исходов отдельных испытаний. В схеме Бернулли каждое наступление события рассматривают как успех, ненаступление – как неудачу.

Вероятность того, что в серии из независимых испытаний ровно раз появляется событие определяется формулой Бернулли

, (17.1)

где – число сочетаний из по – вероятность события в отдельном опыте, , .

Со схемой Бернулли связана СВ , с возможными значениями , между которыми вероятность, равная 1, распределена в соответствии с формулой (17.1).

Значения СВ	0	1	…		…
Вероятности значений			…		…

Сумма вероятностей, находящихся в нижней строке, равна 1.

При фиксированных и , вероятность является функцией переменной . В этих условиях среди вероятностей во второй строке таблицы найдётся наибольшая (наибольшие), которой будет соответствовать наиболее вероятное число появлений события (наивероятнейшее число успехов), примерно равное округлённому до целого числу . Теоретически наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства .

Итак, при определении наиболее вероятного числа успехов в опытах особую роль играет в схеме Бернулли число . Но число допускает и другую интерпретацию: оно равно математическому ожиданию рассматриваемой СВ , которое характеризует среднее число успехов в n опытах.

Задача 4. Вероятность приживания саженца яблони равна 0,7. Какое количество яблонь следует посадить, чтобы прижились примерно 20 яблонь?

Так как , то .