18.3. О применении метода к проверке статистических гипотез

Рассмотрим задачу по проверке гипотезы о вероятности события. Выдвигая статистическую гипотезу о вероятности события , проведём испытаний ( >10).

Тогда, используя оценку частоты по вероятности с надежностью 0,997, т. е. с вероятностью выполнения правила нормально распределенной случайной величины, будем иметь неравенство

│ - │<3 .

Если это неравенство выполняется, то с надежностью 0,997 гипотеза не противоречит экспериментальным данным, в противном случае гипотеза отклоняется.

Пример. Проверить гипотезу о том, что любая последняя цифра номеров телефонов, помещенных в телефонном справочнике города, имеет вероятность 0,1.

Гипотеза .

Запишем неравенства

│ -0,1│< 3 <0,9 <0.9

< <0,9 + .

Пусть . Тогда .

Для проверки гипотезы воспользуемся той же выборкой:

6; 9; 3; 1; 5; 3; 8; 4; 7; 6; 0; 2; 4; 7; 8; 9.

Теперь легко видеть, что каждая цифра встречается в ней не более 5 раз. Поэтому гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Не менее полезно проведение натурных экспериментов, которые позволяют убедиться в том, что модельные результаты согласуются с данными опытов. Сравним, например вероятность выпадения герба и цифры при подбрасывании двух монет с её эмпирическим аналогом – относительной частотой, определяемой экспериментально. Теоретическая, идеализированная частота, т.е. вероятность, в этом случае равна 0,5. Экспериментальное решение можно получить так: каждый слушатель из группы, например в 25 человек, десять раз подбрасывает две монеты, и регистрирует, сколько раз выпали герб и цифра. Всего, таким образом, будет проведено 250 опытов, примерно в половине которых выпадет герб и цифра, а потому относительная частота указанного события 0,5.

В этой связи заметим, что Даламбер, как пишут в некоторых книгах, считал: при подбрасывании двух монет три события – выпадение двух гербов, двух цифр, а также одного герба и одной цифры – равновозможны. Если бы это было так, то относительная частота выпадения герба и цифры равнялась бы примерно . Но как было отмечено выше, относительная частота выпадения герба и цифры, получаемая на основе опыта близка к 0,5. Таким образом, гипотеза Даламбера неверна. (Правда, трудно поверить, чтобы он мог её высказать).

18.4. О сущности метода

Сущность метода Монте–Карло состоит в том, что искомая величина представляется в виде математического ожидания некоторой случайной величины, математическое ожидание которой заменяется средним арифметическим реализаций этой случайной величины при большом числе испытаний, обычно проводимых на ЭВМ. При этом оценка погрешности метода сводится к интервальной оценке погрешности математического ожидания.

Особенностью метода является простая структура вычислительного алгоритма, в соответствии с которым составляется программа для проведения одного испытания, которое затем многократно повторяется. Именно поэтому метод Монте-Карло называют еще и методом статистических испытаний.

Есть одна наука, без которой невозможна

никакая другая. Это математика. Ее понятия,

представления и символы служат тем языком, на

котором говорят, пишут и думают другие науки.

С.Л. Соболев