Шешуі: Дифференциялдық функцияның төртінші қасиеті бойынша

F(х)=

Осыдан х болғанда f(х)=0 болатынын пайдаланып

F(х)=

Енді 0<х болғанда f(х)=F(х)= сондықтан

F(х)=

Ақырында х>3 болғанда f(х)=0 осыдан

F(х)=

Сонымен

F(х)= ,

Мысал 5

Үзіліссіз кездейсоқ шама үлестірім функциясымен берілген

F(х)=

1. Үлестірім тығыздығын табу керек

2. М(х), D(х) табу керек

3. Мына интервалдан [ ] мән қабылдауының

ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

1. f(х)=

2. М(Х)=

D(Х)=

2. Р

Мысал 6. Кездейсоқ шама дифференциялдық функция арқылы берілген

f(х)=

Табу керек: а, F(х), М(х), D(х), Р(0<х< )

Шешуі: а коэффицентін табу үшін дифференциялдық функцияның қасиетін пайдаланамыз:

Есептің шарты бойынша

1=

Cонымен а=1

Енді F(х)-ті табалық

х<0 болса F(х)=

0 болса

F(х)=

сонымен

F(х)= ,

Математикалық үмітті мына формула көмегімен есептейміз

М(х)=

Енді дисперсияны есептейміз

D(х)=

Енді Р(0<X< ) табалық. Ол үшін

Р(0<X< )= ;

яғни Р(0<X< )=

Бұл ықтималдықты сондай-ақ интегралдық функцияны пайдаланып та табуға болатынын көрсетелік:

Р(0<X< )=F( )-F(0)=(1-cos )-(1-cos0)=

Мысал 7

Кездейсоқ шама дифференциялдық функциясы арқылы берілген

F(х)=

табу керек;

1. Коэффицент а-ны;

2. Үлестірім функциясын;

3. [0; ½] аралықтан мән қабылдау ықтималдығын.

Шешуі: Коэффицент а-ны табу үшін үлестірім тығыздығының екінші қасиетін пайдаланамыз, яғни

немесе

1=а =

яғни а=к ,

Сонда f(х)=к х>0

2. Бұл жерде үлестірім тығыздығының төртінші қасиетін пайдаланамыз.

Сонда

F(х)=к х>0

3. Р(0<x< )=F( )-F(0)=1-2е

Студенттерге өзіндік есептер

1. Х-кездейсоқ шамасы бүкіл ОХ осі бойынша мына үлестірім тығыздығымен берілген. Тұрақты параметр С-ны табу керек.

2. Х-кездейсоқ шамасы ОХ осі бойында мына үлестірім функциясымен берілген

F(х)=

Кездейсоқ шаманың мына [0; 1] аралықтан мән қабылдамайтындығының ықтималдығы қандай?

3. Х – кездейсоқ шама мына үлестірім тығыздығымен берілген

f(х)=

М(х), D(х)-терді табу керек.

4. Кездейсоқ шама ықтималдық тығыздығымен берілген

f(х)=

Белгісіз коэффицент С-ны, интегралдық функцияны табыңыз.

5. Кездейсоқ шама дифференциялдық функциясы арқылы берілген

f(х)=

Интегралдық функциясын және математикалық сипаттамаларын табыңыз.

6. Кездейсоқ шама ықтималдық тығыздығы арқылы берілген

f(х)=

1. Интегралдың функциясын жазыңыз.

2. Кездейсоқ шаманың [2;4] аралықтан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

3. Төрт тәуелсіз сынақтарда осы кездейсоқ шаманың [1;2] интервалынан мән қабылдамауының ықтималдығын табыңыз.

7. Кездейсоқ шама ықтималдық тығыздығымен берілген.

f(х)=

Интегралдық функциясын табыңыз.

8. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

f(х)=

Математикалық үмітті М(х) және дисперсияны D(х) табу керек.

9. Кездейсоқ шама үлестірім функциясы арқылы берілген

F(х)=

Ықтималдық тығыздығын табыңыз.

10. Кездейсоқ шама интегралдық функциясы арқылы берілген

F(х)=

Кездейсоқ шаманың [0,1] интервалдан мән қабылдау ықтималдығын табыңыз.

11. Ықтималдық тығыздығы арқылы

f(х)=

берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясын табыңыз.

12. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

F(х)=

а және b сандарын, тығыздығын f(х) табу керек.

13. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

F(х)=

Ықтималдықтың тығыздығын f(х), математикалық үмітті, дисперсияны және кездейсоқ шаманың [1;2] аралығында жату ықтималдығын табу керек.

14. Кездейсоқ шама интегралдық функциясы арқылы берілген

F(х)=

Тұрақты с – санын, математикалық үмітті және дисперсияны табу керек.

15. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

F(х)=

Ықтималдық тығыздығын f(х), математикалық үміттерді M(sinx),М(cosx) табу керек.

16. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

F(х)=

а – санын, ықтималдық тығыздығын f(х), математикалық үмітті, дисперсияны және [0; 2] аралығында мән қабылдау ықтималдығын табу керек.

17. Кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы берілген

F(х)=

Ықтималдық тығыздығын f(х), математикалық үмітті және дисперсияны табу керек.

Мысал 8

Кездейсоқ шама дифференциалдық функциясы арқылы берілген

Интегралдық функцияны табыңыз.

М(х), D(х)- тарды есептеңіз.

Шешуі: Есептің шарты бойынша [0;1] аралығында f(х)=1 яғни тұрақты. Сондықтан бұл кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірім заңымен берілген.Мұнда а=0, b=1.

Олай болса

М(х)= D(х)=

Мысал 9

Автобустың аялдамаға келу интервалы 10 мин. Кездейсоқ шама – автобусты күту уақыты. Осы кездейсоқ шаманың дифференциялдық және интегралдық функцияларын жазыңыз.

Шешуі: Есептің шарты бойынша а=0, b=0. Сондықтан,

Енді интегралдық функцияны табалық:

F(х)=

18. Кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірім мен берілген. Оның ықтималдық тығыздығы

коэффицент А- ны табыңыз. Дисперсиясын есептеңіз.

19. Кездейсоқ шама бірқалыпты үлестіріммен сипатталады.Оның интегралдық функциясы

F(х)=

түрінде берілген. Кездейсоқ шаманың дифференциялдық функциясын анықтаңыз.

Мына [4;9] интервалынан мән қабылдау ықтималдығын табыңыз.

20. Х- кездейсоқ шамасы мына [2; 8] интервалда бірқалыпты үлестіріммен берілген. Математикалық үмітті табыңыз.

Мысал 10. Кездейсоқ шама интегралдық функциясы арқылы берілген

F(х)=

Математикалық үмітті, дисперсияны табыңыз.

Шешуі: Әуелі ықтималдық тығыздығын табамыз

Бұдан М(х)= D(х)=

21. Телевизорды жөндеуге жұмсалатын уақыт кездейсоқ шама. Осы кездейсоқ шаманың интегралдық функциясы

F(t)=

түрінде берілген. Оның математикалық үмітін, дисперсиясын анықтаңыз.

22. Кездейсоқ шама өзінің дифференциялдық функциясы арқылы берілген

Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен кем мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

23. Су түбіндегі кемені іздеп табу уақыты кездейсоқ шама. Кемені t уақытында іздеп табу ықтималдығы

Р(t)=1-е

кемені іздеп табуға қажетті орташа уақытты табыңыз.

Нұсқау: Берілген Р(t) функциясын кездейсоқ шаманың интегралдық функция ретінде қарастыру керек.

24. Үзіліссіз кездейсоқ шама көрсеткішті үлестіріммен берілген

Тәжірибе кезінде осы кездейсоқ шаманың [1;2] интервалынан мән қабылдауының ықтималдығын табу керек.

25. Кездейсоқ шама көрсеткішті үлестіріммен берілген

Математикалық сипаттамаларын табыңыз:М(х), Д(х), Б(х).

Мысал 11

Станок-автомат ұзындығы 125 мм детальдар дайындайды. Олардың берілген ұзындықтан ауытқуы 0,5 мм аспайды. Дайындалған детальдардың 7 проценті сапасыз. Деталь ұзындықтарын кездейсоқ шама ретінде қарастырып және оны қалыпты үлестірім арқылы берілген деп оның дисперсиясын табу керек.

Шешуі: Х-кездейсоқ шама-детальдар ұзындығы. Есептің шарты бойынша детальдардың орташа ұзындығы 125 мм, олай болса М(х)=а=125 мм. Сондай-ақ дайындау кезінде 124,5<x<125,5. Себебі берілген ұзындықтан ауытқу 0,5 мм аспайды. Сондықтан Енді формуласын пайдаланайық.

Р(124,5<x<125,5)=2Ф

Есептің шарты бойынша 7 процент детальдар сапасыз. Олай болса

Р(124,5<x<125,5)=0,93; 2Ф

яғни 0,93 ықтималдықпен сапалы детальдар дайындалады. Ф(х)-функциясының таблицасынан

2Ф

теңдігінен аламыз.

Осыдан

Мысал 12

Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген: М(х)=30, D(х)=4.

Мына теңсіздіктің /х-30/< ықтималдығы 0,8-ге тең болғанда қандай болу керек?

Шешуі: Есептің шарты бойынша

Р(/Х-30/<

Осыдан Ф

Кестеден

Мысал 13

Кездейсоқ шама қалыпты үлестірім арқылы берілген. Математикалық үміті М(х)=5 дисперсиясы D(х)=0,64. Дифференциялдық функциясын жазыңыз. Мына [4; 7] интервалдан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: Есептің шарты бойынша М(х)=5, D(х)=0,64 яғни .

Сондықтан

Р(4<x<7)=Ф

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4939+0,3944=0,8892

Мысал 14

Айталық дайындалған бөлшектің бір өлшемі қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама болсын, математикалық үміті а=10см, ал . 1) Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы 0,025 артпауының ықтималдығын табыңыз; 2) Бөлшектің өлшемі 10,03 сантиметрден артпайтындығының ықтималдығын табыңыз; 3) Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы +0,02-ге тең болуының ықтималдығы 0,99 болуы үшін бөлшектің дайындалуының дәлдігін сипаттайтын қандай болуы керек?

Шешуі:

1. Р(/Х-10/<0,025)=2Ф

2. Р(/Х/<10,03)=Ф(3)+0,5=0,9984

3. Р(/Х-10/<0,02)=2Ф

сонда кестеден осыдан =0,0077.