7.Сызықтық корреляция регрессия түзулерінің теңдеуі

Тәжірибе нәтижесінде анықталған Х және Y мәндері, яғни нүктелері белгілі бір түзу маңайында орналассын y=ax+b сызықтық тәуелділігіндегі а мен b параметрлерінің мәндерін экспериментальдық берілгендері бойынша анықтау керек болсын.

y=ax+b функциясының параметрлерін айырымдарының квадраттарының қосындысы ең кіші болатындай етіп таңдап алуымыз керек,яғни

өрнегін минимумға айналдыруымыз керек. Осылайша табылған параметрлердің мәндерін ең кіші квадраттар әдісі арқылы анықталады деп атайды.

дербес туындыларын тауып, оларын нөлге теңестірсек

шыққан система теңдеулерін теңестірсек

Осы системаның шешуіндегі а мен b параметрлері үшін /1/ өрнектің минимумы болады, себебі бұл параметрлер /1/ өрнекте екінші дәрежелі және де /1/ қосындысы теріс мән қабылдамайды.

/2/ система теңдеулерінің екі жағын тәжірибе саны n-ге бөліп, орта арифметикалық мәндері арқылы өрнектеп жазсақ

мұндағы

/3/ системадан а мен b мәндерін тапсақ

Табылған b-ның мәнін регрессия түзуінің y=ax+b теңдеуіне апарып қойсақ

немесе

коэффициенті /4/ регрессия түзуінің коэффициенті деп аталады.

Осылайша Х-тің Y бойынша регрессия түзулерінің теңдеуі

мұндағы регрессия түзуінің коэффициенті.

/4/ және /6/ теңдеулерімен анықталған регрессия түзулері (x,y) нүктесі арқылы өтетінің байқаймыз.

9.Корреляция коэффициенті

Егер өткен параграфтағы /5/ және /7/ формулаларымен анықталған регрессия коэффициенттері оң мәндер қабылдаса, яғни болса, ондай корреляциялық байланысты оң корреляция деп атайды.

болғанда /4/ түзу ОХ өсімен сүйір бұрыш жасайды, ал болған жағдайда /6/ түзу OY өсімен сүйір бұрыш жасайды.Түзулер арасындағы бұрыш неғұрлым кіші болса, соғұрлым X пен Y арасындағы корреляциялық байланыс тығыз болып саналады.

y

0 x

Егер бұл түзулер беттессе, онда X пен Y арасында түзу сызықты функциялық байланыс бар деп есептеледі.

Сызықтық корреляциялық байланыстың тығыздығы өлшемі ретінде корреляция коэффициенті қолданылады.

/1/ шаманың таңбасы регрессия коэффициенттері таңбаларымен сәйкес келеді.

Корреляция коэффициентінің /1/ анықтамасынан оның келесі қасиеттері шығады.

1⁰ Корреляция коэффициентінің қабылдайтын мәндері

[-1,+1], яғни

2⁰ Егер r=±1, онда таңдаманының нүктелері бір түзу үстінде жатады /регрессия түзулері беттессе, онда β=90-α, tgαtgβ=1/.

3⁰ Егер корреляция коэффициентінің ±1-ге жақын болса, онда Х пен Y арасында күшті сызықтың тәуелділік бар деп есептеледі.

4⁰ Егер r мәні нөлге жақын болса, онда айнымылар арасындағы корреляциялық тәуелділік нашар деп есептеледі /r<0,4 болғанда Х пен Y арасында ешқандай сызықтық корреляция болмайды/.

5⁰ Корреляция коэффициенті өлшемсіз /безразмерная/ шама оның мәні Х және Y шамаларының өлшеміне және координаторлардың бас нүктесінің орналасуына байналыссыз болады:

/1/ формуланы келесі түрде түрлендірейік

Корреляция коэффициентін келесі формуламен есептеуге болады

Y-тің Х бойынша регрессия коэффициенті

Х-тің Y бойынша регрессия коэффициенті

Корреляция коэффициенті r белгілі болғанда регрессия түзулерінің теңдеулерін құру жеңілденіп келесі түрде жазылады