А.А.Марков теоремасы Егер х1,х2,…хn кездейсоқ өзара тәуелді шамалар берілсе және
онда
Дәлелдеу:
шамасын
қарастырайық онда
және
Яков Бернуллидің бұл теоремасы 1713 жылы жарияланды.
Y шамасына Чебышев теңсіздігін қолдансақ онда
Теореманың шарты бойынша ұмтылғанда
сондықтан
егер
немесе,
кері оқиға үшін
дәлелдейтінімізде осы.
Себебі:
А.Я.Хинчин теоремасы. (1929 жылы)
Егер өзара тәуелсіз өте көп мөлшерде тәжірибе жүргізілсе, онда тәжірибемен алынған кездейсоқ шаманың орта мәні оның математикалық үмітін береді (математикалық үміті бар болса).
Бұл теореманы физикалық шамаларды өлшеу тәжірибесімен дәлелдеуге, көз жеткізуге болады.
Үлкен сандар заңдылықтарының өмірдегі маңызы өте күшті. Есептеу математикасындағы Монте-Карло әдісінің негізі осы үлкен сандар заңдылығын пайдаланған.
Қазақстан математикасында ықтималдықтар теориясымен К.П. Персидский айналысқан. Оның көптеген ғылыми мақалары П.Л. Чебышев және А.А.Марков теоремалары туралы; К.П. Персидскийге 1934 жылы үлкен сандар заңдылығын және шектік теоремалар жөніндегі жаңалықтары үшін профессор атағы берілді. Жалпы ықтималдықтар теориясынан ол он төрт ғылыми мақала жариялады.
Ықтималдықтар теориясымен академик К.П. Персидский мен қатар кезінде біздерге ұстаздық еткен Бегалы Сәдуакас ұлы Жаңбырбаевта айналысып, көп жылдық еңбегінің жемісі ретінде “Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері” деген оқу құралын жазды.
Ол 1988 жылы Алматыдағы “Мектеп ”-баспасынан 2550 дана болып басылып шықты.
15 Квадраттық ауытқу
Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясының квадрат түбірін осы кездейсоқ шаманың квадраттық ауытқуы деп атайды.
Квадраттық ауытқуды былай белгілейді:
Ескерту: Бернулли заңы бойынша үлескен кездейсоқ шаманың математикалық үміті
ал
дисперсиясы
Сонда орташа квадраттық ауытқуы
Анықтама: Егер Х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…n мәндерін қабылдаса, бұл мәндерді қабылдау ықтималдықтарды
мұндағы
болса, онда кездейсоқ шаманы геометриялық үлестірім заңына бағынады дейді.
Анықтама: Егер Х кездейсоқ шамасы 0,1,…,n мәндерін қабылдаса және бұл мәндерді қабылдау ықтималдықтары
мұндағы
болса,
онда Х кездейсоқ шамасын гепергеометриялық
үлестірім заңына
бағынады дейді. Анықтама бойынша,
үлестірім кестесі берілген кездейсоқ
шаманы толық анықталған деп атайды.
Анықтама:
Тәуелсіз тәжірибеде Ā оқиғасы қатарынан
(m-1) рет пайда болып, сосын А оқиғасы
рет
пайда болуының ықтималдығы мына
формуламен анықталады
Ықтималдығы осы формуламен анықталған кездейсоқ шама Паскаль үлестірімімен берілген дейді. Геометриялық үлестірім Паскаль үлестрімінің жеке жағдайы, яғни =1 болғанда геометриялық үлестірімді аламыз.
16 Теориялық моменттер
Кездейсоқ шаманың К-ретті бастанқы моменті дегеніміз мына формуламен анықталады:
-ню
Бірінші
ретті (алғашқы) бастанқы момент
математикалық үмітті анықтайды:
Кездейсоқ шаманың k ретті орталық моменті дегеніміз келесі формуламен анықталады:
-мю
Бірінші ретті орталық момент нөлге тең
Ал екінші ретті орталық момент
дисперсияны
береді.
Енді орталық моменттерді бастапқы моменттер арқылы өрнектейік:
Анықтама: Үшінші ретті орталық моменттің стандарттың кубына қатынасын асимментрияның коэффициенті дейді. Оны Sk деп белгілейді (SKEW-ағылшынша қисық, қиғаш, орысша-косой)
Стандарт-орташа квадрат ауытқу.
y
f1(x)
I
f2(x)
II
0 x
f1(x)-оң асимметрия,
f2(x)-теріс асимметрия,
Анықтама. Төртінші ретті орталық моменттің стандарттың
төртінші дәрежесіне қатынасынан үшті шегерсек кездейсоқ шаманың (таралымының) үлестірілімінің эксцессі шығады.
Қалыпты үлестірімнің эксцессі нөлге тең. Егер эксцесс оң болса, онда оған сәйкес қисықтың төбесі сүйір, ал эксцесс теріс болса оған сәйкес үлестірімнің қилығының төбесі жалпақ (тайпақтау) болады.
f(x)
0 mx x