Есептер
1. Айталық зауыт шығарған сағаттың дәл жүру ықтималдығы 0,97-ге тең болсын.Алынған 1000 сағаттың ішінде дәл жүретін сағаттардың үлесі оның ықтималдығынан абсолют шамасы бойынша 0,02-ге ауытқуының ықтималдығын бағалаңыз.
2. Қорапта 1000 ақ және 2000 қара шарлар бар. Қораптан кез-келген шар алынып түсі анықталғаннан кейін қайта қорапқа салынады. Сөйтіп 300 сынақ жүргізіледі. Осы сынақтарда ақ шардың m рет пайда болуы 80<m<120 теңсіздігін қанағаттандыратындығының ықтималдығын бағалаңыз.
3. Комбинатта шығарылған бұйымның сапасыз болуының ықтималдығы 0,015-ке тең. Комбинат шығарған бұйымдардың ішіндегі сапасыз бұйымдар үлесінің оның ықтималдығынан ауытқуы 0,005-тен аспауының ықтималдығы 0,807-ден артық болмауы үшін қанша бұйым алу керек?
4. Даярланған телевизордың сапасын тексергенде олардың 95 проценті берілген Т уақыттан кем жұмыс жасайды екен.Алынған 500 телевизордың ішінде берілген Т уақыттан кем жұмыс жасайтын телевизордың үлесінің оның ықтималдығынан айырмасы 0,02-ден артпауының ықтималдығын бағалаңыз.
5.
Ойын кубын лақтырғанда 5 ұпай пайда
болуының салыстырмалы жиілігі мына
интервалда[(
жатуы 0,99 ықтималдықпен кем болмауы
үшін ойын кубын қанша рет лақтыру
қажет?
6. Әрбір сынақтың жақсы нәтиже беру ықтималдығы 0,8-ге тең. 1000 тәуелсіз сынақтарда жақсы нәтиже беретін сынақтардың салыстырмалы жиілігінің оның әрбір сынақта пайда болу ықтималдығынан ауытқуы 0,05-тен кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.
7. Ойын кубы 1000 рет лақтырылды.Осы сынақтарда 6 ұпай пайда болуының салыстырмалы жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуы 0,01-ден кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.
8. Берілген партиядағы жарамды бөлшектердің үлесі 98 процент екені белгілі болса, осы партияны тексергенде жарамды бөлшектердің пайда болуының салыстырмалы жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуы 0,02-ден кем болуының ықтималдығы 0,96-дан кем болмауы үшін қанша бөлшек тексеру керек?
Сонымен үлкен сандар заңы - тәжірибелердің саны көбейген сайын алынған нәтижелердің арифметикалық орташа нәтижесі тұрақты санға ұмтылатындығының шарттарын анықтайтын теоремалар жиыны болып табылады.
Сондай-ақ ықтималдықтар теориясында орталық шекті теоремалардың да маңызы зор. Бұл теоремаларда қалыпты үлестіру заңын қолдану шарттары қарастырылады. Егер қарастырып отырған кездейсоқ шама - өзара тәуелсіз мейлінше көп кездейсоқ шамалардың қосындысы ретінде жазуға болатын болса (ал әрбір қосылғыштың қосындыға әсері аз болса), онда берілген кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен беріледі деп қарастыруға болады. А.М.Ляпуновтың орталық шекті теоремасының мәні осында болып табылады.
Математикалық статистика элементтері Негізгі ұғымдар таңдамалық тәсіл
Мысал 1
Таңдама мына варияциялық қатар түрінде берілген
х 1 4 5
n 4 4 2
Барлық сипаттамаларын табыңыз.
Шешуі:
а) Таңдаманың көлемі n=10 және х
болса n
(1-ден
кіші варианталар жоқ).
F*(х)=0
, ал х<4
болса n
т.с.с.
есептеулер жүргізіп мына функцияны
табамыз.
F*(х)=
Осы функцияның графигі төмендегідей болғандықтан, эмпирикалық функцияны баспалдақ тәріздес функция деп атау орынды.
F
*(х)
1
0 ,8
0,4
1 2 3 4 5 х
Б ) Жиіліктер полигоны төмендегідей қисық болады
ni
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
в)
D
д)
е)
ж)
з)
и)
Мысал 2
Берілген варияциялық қатар арқылы Хт менDт – ны табыңыз.
х 3860 3900 3910 3913
n 2 13 4 1
Шешуі: Варианталар үлкен сандар, сондықтан С=3900 деп алып, Uі=Хі-С шартты варианталарға көшейік, яғни шартты вариациялық қатар аламыз.
Uі -40 0 10 13
n 2 13 4 1
Сонда (3.1.9), (3.1.10) формулаларын пайдалансақ
D
Мысал 3
Мына таңдаманың гистограммасын құрыңыз.
Интервал Кіші Варианталардың Жиіліктер
нөмірі интервалдар жиіліктерінің тығыздығы
қосындысы қосындысы
і
/һ
1 (1;5) 20 5
2 (5;9) 30 7,5
3 (9;13) 50 12,5
Шешуі:
Абциссалар осінде ұзындықтары 4
болатын берілген интервалдарды
саламыз. Енді табандары осы интервалдар
болатын ал биіктіктері
болатын тіктөртбұрышты саламыз.
12,5
7,5
5
1 5 9 13 Х
Гистограмманың ауданы n кв.өлшем бірлігіне тең болады.
Мысал 4
Мына таңдаманың сандық сипаттамаларын табыңыз.
8
18 28 38 48 58
5 2 3 71 9 10
Шешуі: n=100; һ=10;с=38 екені түсінікті. Енді мынадай есептеу кестесін құрамыз.
Х
8 5 -3 -15 45 -135 405
18 2 -2 -4 8 -16 32
28 3 -1 -3 3 -3 3
38 71 0 0 0 0 0
48 9 1 9 9 9 9
58 10 2 20 40 80 160
я
ғни
М
=0,07;
М
=1,05;
М
М
Олай болса (3.2.2)-(3.2.3) бойынша
а