Есептер

1. Мына таңдаманың сипаттамаларын және эмпирикалық функциясын табыңыз.

х -1 1 4 3

n 3 4 2 1

2. Берілген таңдаманың дисперсиясын табыңыз.

х 2570 2590 2600 2640 2650

n 2 3 10 4 1

3. Берілген таңдаманы орташасы мен дисперсиясын табыңыз.

х 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6

n 4 6 30 40 18 2

4. Мына таңдаманың ассиметриясын табыңыз.

х 10 20 30 40 50 60 70

n 5 15 50 16 4 5 5

5. Мына таңдаманың сипаттамаларын және эмпирикалық функциясын табыңыз.

х 12 14 16 18 20 22

n 5 15 50 16 10 4

6. Таңдаманың берілген таралуы арқылы а) жиіліктер гистограммасын салыңыз, б) дискретті варияциялық қатарды жазыңыз, в) эмпирикалық функциясын табыңыз.

Интервал Кіші Жиіліктер Жиіліктер

нөмірі интервалдар қосындысы тығыздығы

/һ

1 (2; 7) 5 1

2 (7; 12) 10 2

3 (12; 17) 25 5

4 (17; 22) 6 6/5

5 (22; 27) 4 4/5

7 . Таңдаманың орташасы мен дисперсиясын табыңыз.

х 18,4 18,9 19,3 19,6

n 5 10 20 15

8. Төменде доллардың Алматы қаласындағы 1999ж валюта алмастыру орындарындағы бағасы көрсетілген.

доллар 87- 87,1- 87,2- 87,3- 87,4- 87,5- 87,6- 87,7- 87,8-

бағасы 87,1 87,2 87,3 87,4 87,5 87,6 87,7 87,8 88

а лмастыру

орындарының 5 8 12 20 25 15 8 4 3

с аны

Таңдама орташасын және дисперсиясын табыңыз.

Үлестірім параметрлерін бағалау

Д искретті немесе үзіліссіз сандық сипаты белгі Х-ың үлестірімнің белгісіз параметрін Ө деп белгілейік. Оның таңдама арқылы табылатын нүктелік бағасы Ө* болсын. Әртүрлі таңдамалар үшін өзгеріп отыратындықтан Ө*- кездейсоқ шама болады.

Егер М(Ө*)=Ө болса, онда Ө* жылжымыған баға деп аталады, ал басқа жағдайда жылжыған баға деп аталады.

Егер болса, онда Ө* орнықты баға деп аталады, бұл жерде n-таңдама көлемі.

Мысал 1 Бас жинақтан мынадай таңдама алынған.

х 4 5 7

n 10 5 5

а) Бас орташаның жылжымыған бағасын табыңыз.

б) Бас дисперсиясын жылжымыған және жылжыған бағаларын табыңыз.

Шешуі: а) Таңдамалық орташа жылжымыған баға болады.

б) Жылжыған баға ретінде D ал жылжымыған баға ретінде алынды

Мысал 2 Көрсеткіштік үлестірімнің белгісіз параметрі -ның нүктелік бағасын табыңыз.

Шешуі: Бастапқы I-ші ретті эмпирикалық және теориялық моменттерді теңестіреміз.

Көрсеткіштік ұлестірімнің бірінші ретті бастапқы моменті

М болғандықтан теңдігін аламыз.

Осыдан белгісіз параметр нүктелік бағасы тең.

Мысал 3. Берілген таңдама бойынша моменттер әдісін қолданып қалыпты үлестірімнің

белгісіз а және параметрлерінің нүктелік бағасын табыңыз.

Шешуі: Бұл жағдайда екі а және белгісіз параметр болғандықтан бірінші, екінші ретті теориялық және эмпирикалық моменттерді теңестіреміз.

Ары қарай және екенін ескерсек, онда мынадай нүктелік бағалар аламыз

а*=

Мысал 4. Берілген таңдамасының сипаттамалары арқылы моменттер әдісімен бірқалыпты үлестірімнің

белгісіз а және b параметрлерінің нүктелік бағаларын табыңыз.

Шешуі: Бірінші және екінші ретті эмпирикалық моменттерді теңестірейік, яғни

Сонда екенін ескере отырып мынадай теңдеулер системасының

аламыз:

Осы системаны шеше отырып, нүктелік бағаларын табамыз.

НЕҒҰРЛЫМ ШЫНДЫҚҚА ҰҚСАС ӘДІС

1. Х-дискретті кездейсоқ шамасы болып, болсын, і= -белгісіз параметр.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының шындыққа ұқсас функциясы деп

(4.3.1)

функциясын айтады.

Сонда Ө белгісіз параметрінің нүктелік бағасы ретінде (4.3.1) функциясына максимум әперетін Ө*=Ө* мәнін аламыз, бұл баға неғұрлым шындыққа ұқсас баға деп аталады.

Ескерту: Есеп шығарған кезде ІnL функциясын максимумге зерттеген ыңғайлы болады, себебі L және ІnL функциялары Ө-нің бір мәнінде максимумге жетеді.

Мысал 1. Ең үлкен шындыққа ұқсас әдіспен биномды үлестірімнің

р-параметрін бағалаңыз.

Шешуі: Шындыққа ұқсас L функциясын жазайық.

/4.3.2/

Мұнда Ө=p,

Жоғарыда айтылған ескертуге сәйкес мына функцияны максимумге зерттейміз.

LnL= функциясын бір белгісіз р-дан тәуелді функция ретінде қарастыра отырып, осы функцияның максимум нүктесін табамыз.

Сонда р*= мәнін р параметрінің нүктелік бағасы етіп алуға болатынына көзіміз жетеді.

2. Х-үзіліссіз кездейсоқ шама болсын, ал f(х,Ө) белгісіз параметр Ө-дан тәуелді үлестірім тығыздығы дейік.

Бұл жағдайда шындыққа ұқсас функцияны мына формуламен анықтаймыз

Енді (4.3.4) функциясына максимум әперетін Ө*=Ө* нүктесін белгісіз Ө параметрінің нүктелік бағасы болады.

Мысал 2. Көрсеткіштік үлестірімнің

F(х)= (0<x< )

белгісіз параметрінің нүктелік бағасын табыңыз.

Шешуі: Шындыққа ұқсас функцияны құрамыз

Сонда LnL=nln

Енді осы /4.3.7/ функциясын максимумге зерттесек сын нүктесі

максимум нүктесі болатынына көз жеткіземіз.

Яғни, белгісіз параметрінің нүктелік бағасы ретінде шамасын алуға болады.

Мысал 3 Мына қалыпты үлестірімнің

белгісіз а және параметрлерінің нүктелік бағаларын табыңыз.

Шешуі: Шындыққа ұқсас функция құрамыз:

Мұндағы - таңдамадағы варианталар. Енді lnL функциясын табайық.

LnL=

функциясын ені айнымалыдан тәуелді функция ретінде қарап, максимумге зерттейміз

а*=

нүктелік бағаларын табамыз. Мұнда бірінші баға жылжымыған, ал екіншісі жылжыған баға болады.