Есептер

1. Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңдарымен берілген

х 1 2

р 0,8 0,2

1) Мына теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын табыңыз.

2) Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.

2. Детальдің орташа ұзындығы а=50 см, ал дисперсиясы =0,1. Чебышев теңсіздігін пайдаланып алынған кез-келген детальдың ұзындығы 49,5 сантиметрден 50,5 см аралығында болатынының ықтималдығын бағалаңыз.

3. Кез-келген кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуының абсолют шамасы үш орташа квадраттық ауытқудан артпауының ықтималдығын бағалаңыз.

4. Жарамсыз радиошам жасап шығару ықтималдығы 0,25. Бір партияда 1000 радиошам болса, жарамсыз радиошамдардың саны 250-ден ауытқуы 40-тан кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.

5. Дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген

х 0,3 0,6

р 0,2 0,8

теңсіздігінің орындалу ықтималдығын бағалаңыз.

5. Елді мекенде судың сөткелік шығыны кездейсоқ шама. Оның квадраттық орташа ауытқуы 10000 л. Осы елді мекенде бір күн ішінде су шығынының математикалық үміттен ауытқуының абсолют шамасы 25000 литрден кем болмауының ықтималдығын бағалаңыз.

6. Әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,5. Чебышев теңсіздігін пайдаланып 100 сынақта А оқиғасының 40-тан 60-қа дейінгі аралықта пайда болуының ықтималдығын бағалаңыз.

7. Кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген

Х 1 2 3 4 5 6

Р 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1

Мына теңсіздіктің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.

8. Белгілі бір прибор тәуелсіз жұмыс істейтін 10 элементтен тұрады. Т уақыт ішінде әр элементтің жұмыс істемей қалу ықтималдығы 0,5. Т уақыт ішінде жұмыс істемей қалған элементтер мен осы жұмыс істемей қалған элементтердің орташа санының (математикалық үміті) айырмасының абсолют шамасының; 1) екіден кем болуының, 2) екіден кем болмауының ықтималдықтарын бағалаңыз.

9. Зауытта стандартқа жатпайтын радиошамдар шығару ықтималдығы 0,25. Шығарылған 2000 радиошамдардың ішінде стандартқа жатпайтын шамдар санының 500-ден айырмасы 75-тен кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.

10. Урнада 100 ақ 100 қара шарлар бар. Урнадан кез-келген шар алынып түсі анықталғаннан кейін қайтарылады. Урнадан 50 рет шар алынды. Осы алынған шарлардың ішінде ақ шарлардың саны мына интервалда (15, 35) болуының ықтималдығын бағалаңыз.

181. Кездейсоқ шама үлестірім заңымен берілген

Х 1 2 3

Р 0,1 0,5 0,4

1. <3 теңсіздігінің орындалу ықтималдығын табыңыз.

2. <3 теңсіздігінің орындалу ықтималдығын бағалаңыз.

2.Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамаларының арқылы математикалық үміттері бар болып және дисперсиялары тұрақты С санымен шектелген болса, онда кез-келген n саны үшін.

орындалады.

Бұл теореманы Чебышев теңсіздігін пайдаланып дәлелдегенде төмендегі бағалау алынады:

/2.5.4/

Егер М(х )=а болса, онда (2.5.3) формула былай жазылады:

Чебышев теоремасының мағынасын түсіндіру үшін мысал қарастырайық. Айталық белгілі бір бұйымның бір өлшемі А болсын. Соны өлшеу керек. Өлшеу кезінде әртүрлі себебтерге байланысты қате кетеді.Сондықтан өлшеу кезінде алынған нәтиже кездейсоқ шама болады. Бұл Х кездейсоқ шаманың математикалық үміті өлшеп отырған А шамасына тең болады, ал дисперсиясы D(х) пайдаланып отырған прибордың дәлдігін көрсетеді. Тәуелсіз n өлшеу жасалық.Сонда сәйкес бірінші, екінші, … , n-ші өлшеулердің нәтижелері. Бұлардың өздері кездейсоқ шамалар, олардың үлестірім заңдары Х-тің үлестірім заңындай болады.Олай болса

кездейсоқ шамада үлестірім заңы да сондай болады. Бірақта n өскен сайын Х-тің кездейсоқ сипаты бірте-бірте жоғала бастайды да ол А-ға жақындай түседі. Х-тің жақындығының шарттары Чебышев теоремасымен берілген. Сонымен теореманың мағынасы:

оқиғасы n мейлінше үлкен болғанда ақиқат оқиға болады. Бұл теореманың практикалық маңызы мынада. Бір нәрсені өлшегенде мейлінше дәл нәтиже алу үшін оны бірнеше рет өлшеп содан кейін алған нәтижелердің арифметикалық орташа мәнін алу керек.

Мысал 4. Белгілі бір шаманың мәні ретінде мейлінше көп өлшеулердің арифметикалық орташа нәтижесі алынады.Әрбір өлшеудің мүмкін мәндерінің орташа квадраттық ауытқуы 1 сантиметрден аспайды, деп қарастырып, 1000 өлшеуде алынған нәтиженің берілген шаманың шын мәнінен ауытқуының 0,1 сантиметрден артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Әрбір өлшеудің нәтижесі кездейсоқ шама болады. Сондықтан 1000 өлшеудің нәтижелерін тәуелсіз кездейсоқ шамалар жиынтығы ретінде қарастырамыз. Сонда

1000 өлшеудің арифметикалық орташа мәні болады. Ол да кездейсоқ шама болады. Енді өлшеп отырған шаманың шын мәнін а деп қабылдасақ. Чебышев теоремасын пайдалануға болады:

Сөйтіп

Мысал 5

Электрошамдар салынған 100 жәшіктің әрқайсысынан олардың жану ұзақтығын анықтау үшін бір-бірден электрошам алынды. Сөйтіп алынған шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығы есептелінді.Осы арифметикалық орташа жану ұзақтығының жәшіктердегі барлық шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығынан айырмасының абсолют шамасының 2 сағаттан көп болмауының ықтималдығын бағалау керек. Шамдардың жану ұзақтығының орташа квадраттық ауытқуы 8 сағаттан аспайды.

Шешуі: Кездейсоқ шамаларға белгілеу енгізелік. і-інші жәшіктен алынған электрошамның жану ұзақтығы М(х ) - әр жәшіктегі шамдардың арифметикалық орташа жану ұзақтығы.

Сонда

алынған шамдардың арифметикалық орташа жану ұзақтығы, ал

барлық шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығы. Сонымен есептің шарты бойынша мына ықтималдықты бағалау керек.

.

Қарастырып отырған кездейсоқ шамалар үшін Чебышев теоремасының шарттары орындалады. Олай болса

Сөйтіп

.

Мысал 6

Белгілі бір шаманы өлшегенде алынған нәтижелер дисперсиясы 1-ден аспайтын кездейсоқ шама. Осы нәтижелердің арифметикалық орташа мәнінің берілген шаманың шын мәнін ауытқуының абсолют шамасы 0,01-ден артпауының ықтималдығы 0,98- ден кем болмауы үшін қанша өлшеу керек?

Шешуі: Әрбір өлшеу кезінде алынған нәтижелер кездейсоқ шама және олар тәуелсіз. Белгілеу енгізелік бірінші, екінші, …, n-ші өлшеулердің нәтижелері. Олай болса олардың арифметикалық орташа мәні де

кездейсоқ шама. Енді өлшеп отырған шаманың шын мәнін а- деп белгілесек, сонда бұл кездейсоқ шамалар Чебышев теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Сондықтан

.

Осыдан мына теңсіздікті аламыз:

1-

Соңғы теңсіздікті шешіп n болатынын көреміз.

Мысал 7

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі төмендегідей үлестірім заңымен берілсе

Х n -3n 0 3n

P 1-

Онда осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын қолдануға бола ма?

Шешуі: Берілген кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын пайдалану үшін бұл тізбектер екі шартты қанағаттандыру керек:

1) олар қос-қостан тәуелсіз болу керек.

2) олардың математикалық үміттері арқылы болып, дисперсиялары тұрақты бір С санымен шектелген болуы керек.

Берілген кездейсоқ шамалар үшін бірінші рет орындалады, себебі есептің шарты бойынша олар тәуелсіз кездейсоқ шамалар.Ал екінші шарттың орындалуын тексеру қажет. Әуелі математикалық үміттерді есептейік

Енді үшін үлестірім кестесін жазайық.

Х 9 0 9n

P 1-

Осыдан

ақырында D

Сонымен М( ) ақырлы болады да, ол D шектелген болады. Олай болса Чебышев теоремасын пайдалануға болады.