Интервалдық бағалар

Бір санмен ғана анықталатын нүктелік баға, таңдаманың көлемі аз болғанда, өрескел қатеге соқтыруы мүмкін, сондықтан бас жинақтың белгісіз параметрінің интервалдық бағасын, яғни осы Ө параметрі жататындай

интервалын белгілі бір сенімділікпен айқындау мәселесін қарастырайық.

Анықтама 1. Ө параметрінің Ө* бағасы бойынша сенімділігі (сенімділік ықтималдығы) деп теңсіздігінің орындалу ықтималдығы айтады, яғни бұл жерде - бағаның дәлдігі.

Анықтама 2. - интервалын сенімділігімен алынған сенімділік интервалы деп атайды.

Сөйлем 1 Қалыпты үлестіріммен берілген сандық сипатты белгі х шаманың белгісіз а математикалық үмітін таңдамалық орташа арқылы сенімділігімен бағалау үшін мынадай сенімділік интервалдарын аламыз.

а) Егер - бас орташа квадраттық ауытқу белгілі болса, онда

t-саны Ф(t)= - ға тең болатындай сан, оны Лаплас функциясының мәндер кестесін аламыз.

б) Егер - белгісіз болса, онда

Мұнда S-түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқу,

шамасы кестеден анықталады.

Сөйлем 2. Қалыпты үлестіріммен берілген Х-тың бас орташа квадраттық ауытқуы - ны берілген сенімділігімен бағалау үшін мынадай сенімділік интервалдарын аламыз.

Бұл жерде q=q - кестеден алынады.

Мысал 1 Бас орташа квадраттың ауытқуы болатын қалыпты үлестіріммен берілген бас жинақтан алынған көлемі n=25 таңдамадан табылды.

Бас жинақтың белгісіз математикалық үмітін сенімділігімен бағалайтын интервалын табыңыз.

Шешуі: (4.4.1) формуласын пайдаланамыз.

Егер онда кестеден t=2,57, яғни

Осыдан 14,43<a<19,57 сенімділік интервалы.

Мысал 2 Әлдебір физикалық шама бір құралмен 10 рет өлшенеді. Өлшеулердің кездейсоқ қателерінің түзетілген орташа квадраттық ауытқуы 0,5-ке тең. Өлшеу құралының дәлдігін сенімділігімен табыңыз.

Шешуі: Құралдың дәлдігі өлшеуде жіберілген кездейсоқ қателердің бас орташа квадраттық ауытқуымен сипатталады, яғни бізге бағалайтын сенімділік интервалын табу керек.

болса, кестеден q=1,08 олай болса, формуласын пайдалана отырып дәлдікті анықтайтын сенімділік интервалын табамыз.

Есептер

1. Берілген таңдама арқылы бас орташаның жылжымаған бағасын табыңыз.

х 3 6 9 12

n 15 18 12 5

2. Берілген таңдама арқылы бас дисперсияның жылжыған және жылжымаған бағаларын табыңыз.

х 5 12 13 15 20

n 12 15 20 40 13

3. Х кездейсоқ шамасы Пуассон үлестіріммен берілген

моменттер әдісімен белгісіз параметр нүктелік бағасын табыңыз.

4. Моменттер әдісімен геометриялық үлестірімнің параметрі р-ның нүктелік бағасын табыңыз.

5. Моменттер әдісімен Гамма үлестірімнің

белгісіз параметрлері мен - ны бағалаңыз.

6. Жоғарыдағы (219;220;221) есептерді неғұрлым шындыққа ұқсас әдіспен шығарыңыз.

7. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың орташа квадраттық ауытқуын , таңдамалық орташасын түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқуын s, таңдама көлемін n деп алып, белгісіз математикалық үміт а – ны бағалайтын сенімділік интервалдарын табыңыз.

а) n=16,

б) n=25,

в) s=3, n=9,

г) s=7,2, n=40,

8. Детальдің диаметрі арнаулы сызғышпен 6 рет өлшенді. Өлшеулердің кездейсоқ қателерінің 0,4-ке тең. Сызғыштық дәлдігін сенімділігімен табыңыз.

9. Көлемі n болатындай таңдама арқылы түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқу s анықталған. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың бас орташа квадраттық ауытқуын бағалайтын сенімділік интервалын сенімділігімен табыңыз.

а) n=5, s=4,1

б) n=15, s=3.