Үзіліссіз (үздіксіз) кездейсоқ шамалар

Мысал 1

Айталық Х-дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген болсын

Х 0 1 3 3,5

Р 0,1 0,4 0,2 0,3

Х-тің үлестірім функциясын табыңыз.

Шешуі: Ол үшін (2.2.2) формуласын пайдаланамыз. Кестеден байқағанымыздай х<0 болса, онда Х-тің қабылдайтын мүмкін мәндері жоқ. Ал 0 <1 болғанда Х-тің қабылдайтын бір мәні, ол-0; енді 1 х<3 болса, онда Х-тің қабылдайтын үш мәні бар, ол 0,1,3; т.с.с ақырында х 3,5 болса, онда Х өзінің барлық мүмкін мәндерін қабылдайды, ол – 0,1,3,3,5.

Енді (2.2.2) формуласына түсінік келтірелік. Жоғарыда айтқанымыздай х<0 болса, онда есептің шарты бойынша 0-санының сол жағында берілген кездейсоқ шаманың ешбір мүмкін мәні жоқ, яғни кездейсоқ шаманың өзінің мүмкін мәндерінің біреуін қабылдауын оқиға екенін ескерсек, онда оның 0-санының сол жағынан мән қабылдауы мүмкін емес оқиға, олай болса

F(х)=Р(х<0)=0

Енді х<1 болса, онда 1-санының сол жағында есептің шарты бойынша кездейсоқ шаманың бір мәні бар, ол 0-саны. Олай болса

F(х)=Р(х<1)=Р(х=0)=0,1

Сол сияқты х<3 болғанда, 3-санының сол жағында кездейсоқ шаманың екі мәні бар. Ол осы мәндердің біреуін қабылдауы мүмкін, яғни екі оқиғаның біреуі пайда болады дегеніміз. Сондай-ақ, бұл екі оқиға үйлесімсіз, сондықтан үйлесімсіз оқиғалардың қосындысының ықтималдығы туралы теореманы пайдаланып:

F(х)=Р(х<3)=Р(х=0)+Р(х=1)=0,1+0,4=0.5

Осы жолмен х<3,5 болғанда және х>3,5 болғандағы F(х)-ның мәндерін есептеуге болады.

Сонымен қорытындысында

F(х)=

Енді F(х) функциясының графигін тұрғызайық.

F(х)

0,

0,

0,

1 3 3,5 х

Мысал 2

Кездейсоқ шама интегралдық функциямен берілген

F(х)=

Үлестірім кестесін құрыңыз, М(Х), D(Х), (Х) табыңыз.

Шешуі: Интегралдық функцияның өрнегінен байқағанымыздай болғанда х<-2, яғни 2-нің сол жағында кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері жоқ. Ал х<-1 болғанда F(х)=0,1 бұл жағдайда кездейсоқ шаманың бір мүмкін мәні бар ол-2, сол сияқты х<1 болғанда F(х)=яғни бір санының сол жағында кездейсоқ шаманың екі мүмкін мәні бар, олар –2;1.

Сондықтан F(х)=P(х=-2)+Р(х=-1).

Мұнда Р(х=-1)=0,3.

Ойымызды осылай жалғастыра отырып ақырында мынадай үлестірім кестесін аламыз

Х -2 -1 1 2

Р 0,1 0,3 0,5 0,1

М(Х)=0,2, D(Х)=1,56, (Х)=1,25.

Студенттерге өзіндік есептер

1. Жоғарыда келтірілген 84 және 90 есептердегі қарастырған кездейсоқ шамалардың функцияларын табыңыз. Математикалық сипаттамаларын есептеңіз.

2. Кездейсоқ шама интегралдық функциясы арқылы берілген

F(х)=

Үлестірім функциясын табыңыз.

3. Тиынды екі рет лақтырғанда елтаңбаның пайда болуының үлестірім кестесін жазыңыз. Интегралдық функциясын табыңыз.

Мысал 3

Үзіліссіз кездейсоқ шама дифференциялдық функциямен берілген

(х)=

Кездейсоқ шаманың модасын,медианасын,асимметриясын және эксцессін табу керек.

Шешуі: 1. Моданы табу үшін f(х) функциясының максимумын табамыз. Ол үшін әуелі бірінші туындыны тауып оны нөлге теңеп, сосын кризистік нүкте тауып f(х) – тің максимумын белгілі схема бойынша анықтаймыз

f (х)= cos(х), f (х)= - sin(х), f (х)=0, cos(х)=0, х=

Мұнда [0; ] кесіндісінде тек х= мәні жатады. Енді

f ( )=- Осыдан f f( ).Олай болса Мо= .

Енді медиананы табалық. Анықтамадан

Р(0<Х<М )=М(М <х<

Осыдан

Р(0<Х<М )= sin xdx= (cosM -cos0)= cos M -

Сөйтіп

Р(0<х< )= sin хdх= (cos -cosM )= - cosM

Енді А және Ек-ларды табу үшін әуелі

табамыз.

Сонда

Осы есептеулерді пайдаланып А =0 екенін көреміз, яғни f(х) функциясының графигі өзінің М(х)-і бойынша симметриялы орналасқан.

Сол сияқты

Ек=

екенін көреміз, яғни f(х)-тің графигі Гаусс кисығына қарағанда “жатыңқы” болады екен.

Мысал 4

Кездейсоқ шама дифференциялдық функциясы арқылы берілген

f(х)=

Интегралдық функциясын табыңыз.