12 Кездейсоқ шамалар және олардың сипаттамалары

Анықтама. Тәжирібенің нәтижесінде әртүрлі мән қабылдай алатын шаманы кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсок шамалар x,y,арқылы белгіленеді де оның мәндерін x₁,x₂,…,x_n; y₁,y₂…y_n арқылы белгілейді. Кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріне қарап,оларды екі топқа бөледі:

Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар (дискретті-үзікті)

x кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шаманы дискретті деп атайды(үзікті шама).

Егер x кездейсоқ шамалы шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдайтын болса, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды.

Мысалдар

1) ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны дискретті кездейсоқ шама. Оны x арқылы белгілесек қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады;

2) екі ойын сүйегі лақтырылсын. Түскен ұпайлар санын ескерейік. Үлестірім заңын табайық.

Шешімі: Кездейсоқ шама x 2 ден 12 ге дейін, ал оның барлық жағдайы мәнін қабылдайды

1 2 3 4 5 6 7

36

1 2 3 4 5 6

Ықтималдықтарды есептейік:

Сонымен үлестірім заңы мына кестемен өрнектелер

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P

Кестедегі

Үлестірім кестесінің екінші жолда тұрған сандар теріс емес,яғни және ол сандардың қосындысы бірге тең.

X кездейсоқ шамасының х_1,х₂,…х_n мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығынан х₁,х₂,…х_n бірікпейтін толық топ құрады.

Анықтама

Егер Х кездейсоқ шамалы 0,1,2…,n мәндерін қабылдау ықтималдығы

тендігімен анықталса (мұндағы k=0,1,2,…n, ал элементтен k-дан жасалған теру саны болса) онда х-ті бином (Бернулли) заңы бойынша үлескен деп атайды.

X	0	1	2	…	K	…	N
p	qn	npqn-1		…		…	pn

Өздеріңізге таныс Бернулли формуласы.

Анықтама. Егер х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…,n мәндерін қабылдаса n мейлінше үлкен болғанда, p тым аз болғанда p_n(x=k)

Ықтималдығын жұықтап есептеуге мына формуланы қолданады

Бұл үлестірімді Пуассон заңы дейді. Пуассон формуласы Бернулли формуласынан шығатындығын дәлелдейік: Мұндағы ұмтылғанда

Биномдық Бернулли эаңының ұмтылғандағы тегі Пуассон үлестірімін береді.

Мысал. Заводтан шығатын өнімнің орта есептен алғанда 0,02 проценті жарамсыз бұйым. 2000 бұйымды алып тексергенде жарамсыз бұйымдардың саны 3-ке тең болу ықтималдығы қандай?

Шешуі. Жүргізілетін барлық тәжірибе саны n=2000. Әрбір тәжірибеде бұйымның жарамсыз болу ықтималдығы Пуассон формуласын қолдансақ

13 Дискретті кездейсоқ шамалардың математиқалық үміті және оның қасиеттері

Егер х кездейсоқ шамалы х₁,х₂,…,х_n мәндерін p₁,p₂,…p_n ықтималдықтарымен қабылдаса, онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті деп

қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті

Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үмітін табу. Анықтама бойынша

Сонымен, Пуассон бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үміті осы үлестіріндегі параметріне тең.

Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің арифметиқалық ортасына тең болады,яғни

Математика үмітті механика тілінде үлестірімнің орталы(центр распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі.

Расында х₁,х₂,…,х_n нүктелерінің массалары p₁,p₂,…p_n болса, онда берілген жүйенің ауырлық нүктесі

Сөз соңында айтарымыз.

Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математик; физик және механик.

Математиқалық үміттің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең.

M(C)=C, C=const.

Кездейсок шама тек қана С мәнін қабылдайды да оның ықтималдығы бірге тең болады.

2. Тұрақты көбейткішті математиқалық үміт таңбаcының алдына шығаруға болады2

M(CX)=CM(x), C=const.

Анықтама бойынша

3. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына) тең, яғни

Дәлелдеу: Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дәлелденеді.

1. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көбейтіндісінің математикалык үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісінде тең:

M(xy)=M(x/M/y)

Үшінші,төртінші қасиеттері n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады.

3⁰. M(x₁+x₂+…x_n)=M(x₁)+M(x₂)+…+M(x_n)

4⁰. мұндағы X₁,X₂,…,X_n-тәуелсіз кездейсок шамалар.