3.Статистикалық ортаның орнықтылығы

Берілген Х кездейсоқ шамасына байланысты жүргізілген тәжірибе нәтижесі х₁,х₂,…,х_n таңдамасын берсін. Оның математикалық үміті М(х) үшін баға есебінде статистикалық орта -ті қабылдайды, ал диспресиясы D(x) үшін баға есебінде статистикалық дисперсия алынады.

θ параметрінің х₁,х₂,…х_n таңдамасы бойынша алынған θ^* бағасын М(θ^*)= θ теңдігі орындалғанда ығыстырылмаған баға дейді. Сонымен баға ығыстырылмаған болу үшін бағаның математикалық үміті бағаланатын шаманың өзіне тең болуы керек.

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып түрлендірулер жүргізсек

яғни демек статистикалық /эмперикалық/ ортасы математикалық m_x үміті үшін ығыстырылмаған баға болады.

Енді статистикалық /эмперикалық/ дисперсиясын тексерейік. Алдымен бірқатар түрлендірулер жүргізейік,

Дисперсиясының қасиеті бойынша ол координаталар бас нүктесін қалай алғанға байланыссыз. Біз осындай нүкте есебінде m_x-ті аламыз.

-тің математикалық үмітін қарастырайық.

тендіктерін ескерсек мынау келіп шығады:

Сонымен, бұл теңдік бойынша статистикалық дисперсия үшін ығыстырылмаған баға бола алмайды: n-ге сәйкес ығысу бар болады.

Енді мынадай баға құралық:

Сондықтан да дисперсия үшін статистикалық бағасы ығыстырылмаған баға болады. Міне, солай болғандықтан кейбір оқулықтарда статистикалық дисперсия үшін /1/ тендікпен анықталған шаманы қабылдайды. Егер кез келген оң сан болғанда

limP(|θ-θ|<ε)=1

шарты орындалатын болса, онда θ параметрінің статистикалық θ^* бағасы орнықты деп аталады.

Бұл параграфтағы статистикалық бағалауларды нүктелік бағалар деп атайды.

4.Интервалдық бағалау

Θ параметрін бағалау үшін ығыспайтын θ^* бағасы анықталсын. Алдын ала β ықтималдығы берілсін дейік. Осындай шарттар орындалғанда

P(|θ-θ|<ε)= β /1/

Немесе

P(θ^*-ε<θ<θ^*+ε)=β /2/

Теңдігін қанағаттандыратындай ε>0 санын табайық. Бұл теңдіктер белгісіз θ параметрінің мәні интервалында жату ықтималдығы β-ға тең екенің көрсетеді.

интервалы θ^* кездейсоқ нүктесін β-ға тең ықтималдықпен жабады.

интервалын сенімділік интервалы деп, β ықтималдығын сенімділік ықтималдығы деп атайды.

Мысал. x₁,х₂,…х_n таңдамасы берілген. Қалыпты заң бойынша үлестірімді Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті а үшін сенімділік интервалын табу керек. Сенімділік ықтималдығы β.

Берілген сенімділік β ықтималдығымен теңдігі орындалатындай етіп, ε>0 санын табайық.

Қалыпты заң бойынша үлестірімді Х кездейсоқ шамасы үшін

мұндағы

тендігімен анықталатын Лаплас функциясы

теңдеунен кесте бойынша мәнін табамыз,

мұндағы

Сонымен сенімділік интервалды

Мысалы. Сенімділік ықтималдығы β=0,95 болатын, қалыпты заң бойынша үлестірімді Х кездейсоқ шамасының белгісіз математикалық үміті а үшін сенімділік интервалын табу керек. Берілген шамалар болсын.

Ф(t)=0,95 теңдеуінен қосымшаның 1-кестесінен t=1,40,

Осыдан сенімділік интервалы

немесе

(24,2; 25,0)

Сонымен белгісіз а-ның мәндері 0,95 ықтималдығымен осы интервалдығы мәндерді қабылдайды.