5 Байес формуласы
Байес формуласы ықтималдықтарды көбейту теоремасы мен толық ықтималдық формуласының салдары болып табылады.
Теорема.
Егер А оқиғасы толық топ құратын,
бірікпейтін
оқиғаларының
(жорулардың) біреуімен бірге пайда
болатын болса, онда әрбір жорудың шартты
ықтималдығы үшін
теңдігі орындалады.
Дәлелдеу. Ықтималдықтарды көбейту формуласы бойынша
бұл
тендіктен
Енді осы тендіктің оң жағында тұрған бөлшектің алымына ықтималдықтарды көбейту, ал бөліміне толық ықтималдықтың формуласын қолдансақ онда мына қатынас шығады
(1)
бізге дәлелдеу керегі осы еді.
формуланы Байес формуласы дейді.
Байес Томас (1702-1761)- ағылшын математигі, Лондондағы король ұйымының мүшесі.
Ескертү. Біріншіден оқиғаларына қоятын шарт олар оқиғалардың толық тобын құруы қажет, яғни олар бірден бір мүмкін және өзара бірікпейтін болуы керек.
ықтималдықтары
тәжириебеге дейін белгілі деп есептелінеді
де, априорлық ықтималдық деп аталынады.
( Латынның a priori – алдымен, әуелі деген
сөзінен тұрады)
-
апостериорлық ықтималдық деп атайды.
(Латынның a posteriori- тәжиірибеден соң деген
мағынаға)
Мысал.
Қоймада екі заводтың дайындаған
бөлшектері бар. Бірінші завод екіншіден
4 есе көп дайындаған. Бірінші заводтың
жарамсыз бөлшектер дайындау ықтималдығы
ал
екінші заводтын ықтималдығы
Кездейсоқ
алынған бөлшек жарамсыз болып шықты.
Осы бөлшектің бірінші завод дайындаған
бөлшек екіндігінің ықтималдығын тап.
Шешуі: - бірінші, -екінші завод дайындаған бөлшектер.
А-кездейсоқ
алынған бөлшектің жарамсыз болуы. Онда
есептің шарты бойынша
Онда
6 Тәжірибені қайталау. Бернулли формуласы
Егер бірнеше тәжірибе жүргізіп, әр тәжірибедегі А оқиғасының пайда болуы басқа тәжірибенің нәтижесіне байланыссыз болса, онда ол тәжірибелерді “A” оқиғасына қарағанда тәуелсіз тәжибелер деп айтады.
Теорема. Әрбір тәжірибие жүргізіп, әр тәжірибедегі A оқиғасының пайда болу ықтималдығы P-ға тең болсын n рет тәжірибе жүргізілінгенде A оқиғасы K рет пайда болу ықтималдығы.
(1)
формуласымен
анықталады.
.
Бұл формуланы биномдық формула немесе
Бернулли формуласы деп атайды.
Дәлелдеу.
n рет тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының
әр тәжірибедегі пайда болу ықтимадығы
,ал
пайда болмау ықтималдығы P(Ā)=1-P(A)=q болсын.
Bк-A оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі K рет пайда болуы;
Аi-А оқиғасының i-ші тәжірибедегі пайда болуы;
Āi-A оқиғасының i-ші тәжірибедегі пайда болмауы деп белгілесек, күрделі оқиға Bκ берілген А оқиғасының n-k рет пайда болуы комбинацияларынан тұрады.
Әрбір
қосылған қосылғыштың ықтималдығы бірдей
болады .
бірінші
қосылғыш үшін ықтималдықтарды көбейту
теоремасы бойынша
оқиғасында
қосылғаштар саны
болғандықтан, ықтималдықтарды қосу
теоремасын ескерсек.
/I’/ формуланы аламыз.
Басқаша дәлелдеу: Биномдық формула, немесе Ньютон биномы былай жіктеледі:
Мұндағы
-
Бернулли формуласын береді,
.
Мысал: Батарея бір ауданға 4 рет оқ атқан, әрбір оқтың тию
ықтималдығы
тең болған. Көзделген ауданның толық
зақымдануы үшін кем дегенде 2 оқ тию
керек. Ауданның толық зақымдану
ықтималдығы қандай?
А-4 рет атқанда ауданды толық зақымдану уақиғалы болсын.
ауданға
2 рет оқ тию
ауданға 3 рет оқ тию
- ауданға 4 рет оқ тию
Ықтималдықтарды қосу теоремасын қолдансақ
