14 Дискретті кездейсок шамалардың дисперсиясы және оның касиеттері

Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үмітінен ауытқитындығы белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі.

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқыуының квадратының математикалық үмітін айтады.

(1)

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:

осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады

(2)

3. формула былай оқылады

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің квадратының айырымы.

Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын тап.

Сонымен Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы да -ға тең.

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы.

Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол

сигма X деп оқылады.

Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп атайды.

Теріс емес кездейсоқ шамалардың кездейсоқтығының дәрежесін анықтау үшін вариация коэффициенті анықталады

ол орташа квадрат ауыткудың математикалық үмітке қатынасы.

Енді дисперсияның қасиеттерін қарастырайық

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең

Д(С)=0

Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша

Д(С)=М(С²)-М²(С)=С²-С²=0

2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.

Шынында (2) формула бойынша

3. Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда

Д(x+y)=Д(x)+Д(y)

Дәлелдеу: (2) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек.

4. 

Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.

Үлкен сандар заңдары

Кездейсоқ факторлардың бірігіп әсер етуінің нәтижесінде кездейсоқ емес құбылыстардың пайда болатындығы әртүрлі салаларда кездеседі. Мұндай заңдылықтар, атап айтқанда қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдықтар теориясына тән.

Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болатындығын бұрын да атап өткенбіз.

Міне, бұл үлкен сандар заңының бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз

1867 жылы П.Л. Чебышевтың дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай дамытуға жол ашты.

П.Л. Чебышев теңсіздігі.

Кез келген Х кездейсоқ шамасының оның математикалық үмітінен айырымының абсолют шамалы оң санынан кіші болу ықтималдығы тан кіші емес; яғни

П.Л. Чебышев теоремасы. Егер тәуелсіз х₁,х₂,…,х_n кездейсоқ шамаларының тұрақты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса,онда кез келген саны үшін

Чебышев теоремасын дәлелдеу:

Кездейсоқ шама

Бұл шаманың математикалық үміті

Ал дисперсиясы

Берілген y кездейсоқ щамасын Чебышев теңсіздігін қолдансақ онда

Сонда біздің қарастырып отырған y шамасына теңсіздік былай жазылады:

(1)

шамасы қандай болмасын n саны шексіздікке ұмтылғанда

бірге ұмтылады.

1. теңдікте ұмтылғанда ықтималдық бірден артық болмайтынын ескерсек, Чебышев теоремасының ұйғарысы шығады.

Егер кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бар болса, онда тәжірибе саны он үлкен болса кездейсоқ шамалардың орта мәні математикалық үлестігін береді

Яков Бернулли теоремасы.

Егер р әрбір тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және К кездейсоқ шама А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны болса, онда кез келген саны үшін

Сонымен, Чебышев теоремасындағы шарттар орындалғанда кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортаса мен олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда “тым аз” болады екен.

Ал Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді.

С.Д. Пуассон теоремасы. Егер бір-біріне тәуелсіз n рет тәжірибе жүргізілсе, онда А оқиғасының пайда болуының жиілігі, оның пайда болу ықтималдығының орта мәніне ұмтылады.

1907 жылы Чебышевтың теоремасын тәуелді тәжірибелер үшін А.А.Марков дәлелделі.