4 Тәжірибені қайталау тәуелсіз сынақтар тізбегі

Мысал 1

Шахмат ойнау шеберлігі тең екі шахматшы ойын көрсетуде. Тең аяқтаған ойынды есептемегенде:

1) төрт партияның үшеуін ұту мен сегіз партияның бесеуін ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысының ықтималдығы жоғары?

2) төрт партиядан кем дегенде үш партия ұту мен сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысының ықтималдықтары жоғары?

Шешуі: Ойнау шеберлігі тең болғандықтан олардың әрбір партияда ұту ықтималдықтары 0,5 тең.

Төрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы Бернулли формуласы бойынша

Сегіз партияда 5 ұтыстың ықтималдығы

Осыдан , яғни төрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы, сегіз партиядан 5 ұтыстың ықтималдығынан жоғары.

2) төрт партиядан кем дегенде үш ұтыстың ықтималдығы

Сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдығы

Осыдан 93/256>5/16, яғни сегіз партиядан кем дегенде бес ұтыстың ықтималдығы, төрт партиядан кем дегенде 3 партия ұтыстың ықтималдығынан жоғары.

Мысал 2

Тәуелсіз 600 сынақтардан тұрақты p=0,4 ықтималдықпен пайда болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Бұл есептің дәл шешуі Бернулли формуласымен табылады, бірақта бұл есепте сынақтар саны n=600 аса үлкен. Сондықтан Муавр-Лапластың локалдық формуласын пайдаланамыз. Ол үшін әуелі х-тің мәнін табалық

х=

Сонда

Мысал 3. Мергеннің нысанаға тигізуінің ықтималдығы 0,75 – ке тең.

1. 100 атыста мына оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек.

а) нысанаға 71 –ден кем емес 80 – нен артық емес рет дәл тиді,

б) нысанаға 70 – тен артық емес рет дәл тиді,

с) нысанаға 81 – ден кем емес рет дәл тиді.

2. Тәуелсіз 400 атыста салыстырмалы жиіліктің ықтималдықтан p=0,75 ауытқуының абсолют шамасы 0,035 – тен кем болатындығының ықтималдығын табу керек.

3. Салыстырмалы жиіліктің оқиғаның ықтималдығынан p=0,75 ауытқуының абсолют шамасы 0,035 – тен кем болатындығының ықтималдығы 0,95 – ке тең болуы үшін қанша тәуелсіз атыс жасау керек?

4. Тәуелсіз 100 атыста нысанаға дәл тиген ең ықтималды атыс санын табу керек.

Шешуі:

1. Бұл жерде Лаплас формуласын қолданамыз

а) n=100 p=0,75 q=0,25

х

х

Сонда

б) n=100 p=0,75 q=0,25

х х

2. Бұл жерде Лаплас формуласынын салдарын қолданамыз

n=400, p=0,75, q=0,25,

Сонда

1. Есептің шарты бойынша

яғни 2

Сонда кестеден

0,035

немесе =1,96 осыдан n=588.

4.Ең ықтималды m санын анықтаймыз, яғни

100

немесе 74,75

Осыдан m

Мысал 4. Тұқымға арналған бидайдың дәндерінің ішінде 0,004% арам шөп дәндері кездеседі. Кез-келген 50000 дәндердің ішінде арамшөптің 5 дәндері кездесетіндігінің ықтималдығы қандай?

Шешуі: Бұл есепті шығару үшін Муавр- Лапластың локальдық формуласын пайдалануға болар еді. Алайда есептің шарты бойынша p=0,00004, яғни ықтималдықтың мәні өте аз. Бұл жағдайда Муавр-Лапластың формуласын теореманың шарты бойынша пайдалануға болмайды. Сондықтан Пуассон формуласын пайдаланамыз. Есептің шарты бойынша

Сонда Пуассон формуласын қолданып

Ескерту: Пуассон формуласын пайдаланғанда болу керектігін ескеру қажет.

Мысал 5. Ойнау шеберлігі тең екі шахматшы ойын көрсетуде.Үш ойында ең болмағанда бір ұтыс болуының ықтималдығын табу керек?

Шешуі: Бұл жерде p=0,5 ескерсек .

Мысал 6. Урнада 5 ақ және 50 қара шарлар бар. Урнадан кез келген шар алынып оның түсін анықтағаннан кейін ол қайтадан урнаға салынды. Сөйтіп осы сынақ 10 рет қайталанды. Осы сынақтарда 3 рет ақ шар пайда болуының ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Бернулли формуласын пайдалануға болады, себебі n=10 онша үлкен сан емес. Бұл жерде алынған шар урнағақайтарылып тұрғандықтан әрбір сынақта ақ шардың пайда болу ықтималдығы тұрақты және p=5/55=1/11

Сондықтан

Сондай-ақ жуықтап есептеу Пуассон формуласын пайдалансақ.

;

Бернулли схемасы жалпы жағдайда полиномдық схеманың жеке түрі болып табылады. Полиномдық схема бойынша тізбектес тәуелсіз сынақтардың әр сынағында өзара үйлесімсіз оқиғалардың бірі сәйкес p ықтималдықпен пайда болады.

Мұнда 0 және Айталық n тәуелсіз сынақ жүргізілсін.

Сонда осы n сынақтарда оқиғасының m рет, оқиғасының m рет, оқиғасының m рет,…, оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдығы мына полиномдық формуламен анықталады:

p

Мұнда = n.

Мысал 7. Жұмысшы 0,9 ықтималдығымен сапалы бұйым, 0,09 ықтималдығымен жөндеуге келетін ақауы бар, ал 0,01ықтималдығымен жөндеуге келмейтін ақауы бар бұйымдар шығарады.Жұмысшы үш бұйым шығарады.Осы үш бұйымның ішінде ең болмағанда бір сапалы бұйым және ең болмағанда ақауы жөндеуге келетін бір бұйым бар болатындығын тап.

Шешуі: Барлығы үш бұйым шығарылған.Белгілеу енгізелік. А – сапалы бұйым, В – ақауы жөндеуге келетін бұйым, С – ақауы жөндеуге келмейтін бұйым. Сонда бізге мына оқиғалардың пайда болғаны керек:

Бұл оқиғалары үйлесімсіз. Есептің шартынан байқағанымыздай, бұл оқиғалар әртүрлі ықтималдықтармен пайда болады.Сондықтан есептің шарттары полиномдық формуланы пайдалануға болатынын көрсетеді. Сонда:

=

=