Студенттерге өзіндік есептер

1 Тоқ кернеуі ұлғайтылғанда бір-бірімен тізбектес жалғанған үш элементтің бірінің істен шығуына байланысты электр жүйесінде үзіліс пайда болуы мүмкін. Элементтердің істен шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,2; 0,3; 0,4. Электр жүйесінде үзіліс болмауының ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Электр жүйесінде үзіліс болмау үшін ешбір элемент істен шықпауы керек.

2 Бір партияда 50 зат бар, оның 5-уі сапасыз. Осы партиядан алынған кез-келген 30 заттың ішінде сапасыз зат біреуденартық болмауының ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Белгілеу енгізейік. А- барлық 30 зат сапалы. В- 30 заттың біреуі сапасыз. Сонда А,В оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса С=А+В – алынған 30 заттың ішінде сапасыз зат біреуден артық еместігін білдіретін оқиға.

3 Жәшіктегі10 детальдің 4-і боялған. Деталь жинаушы 3 деталь алды.

Алынған үш детальдің ең болмағанда біреуі боялғандығының ықтималдығын табу керек.

4 Ақшалай-заттай лотереяда әрбір 10000 билетке 150 заттай және 50 ақшадайұтыс шығады. Бір билеті бар адамға не заттай, не ақшалай ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?

5 Урнада он қызыл, 5 көк және 15 ақ шарлар бар.Түсті шардың алынуының ықтималдығы қандай?

6 Лотереяда 1000 билет бар. Оның әрбір екі билетінің біріне ұтыс шығады. Екі билет сатып алынған. Осы екі билетке де ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?

7 Екі ойын сүйегі лақтырылған. Сонда пайда болған сандардың қосындысы 5-тен артық болмауының ықтималдығын табу керек.

8 Үш ойын сүйегі лақтырылған. Сонда үш сүйекте де бірдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?

9 Екі күміс теңгені лақтырғанда ең болмағанда бір рет “цифр” пайда болуының ықтималдығы қандай?

10 Урнада 9 қызыл, 6 көк шарлар бар. Кез-келген екі шар алынды. Алынған екі шардың да қызыл болуының ықтималдығын табу керек.

11 Жұмысшы үш станоктің істен шықпауын қамтамасыз етеді. Бір сағат ішінде жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істеу ықтималдығы бірінші станок үшін 0,3-ке тең, екіншісі үшін – 0,5 және үшіншісі 0,6. Мына оқиғалардың ықтималдығын табу керек:

а) Бір сағат бойында ең болмағанда бір станок жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істейді;

в) Екі сағат бойы үш станок те жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істейді.

12 Семьяда 4 бала бар.Ер бала мен қыз баланың дүниеге келуінің ықтималдықтары бірдей деп алып, мына оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек:

а) Барлығы да ұлдар.

б) Барлығы не ұлдар, не қыздар

в) Ең болмағанда біреуі қыз бала.

13 Екі мергент нысанаға атыс жүргізуде. Бірінші мергеннің (А оқиғасы) нысанаға тигізу ықтималдығы –0,5, ал екіншісінікі (В оқиғасы)- 0,4. Егер әрбір мерген 3 рет атыс жасаған болса, ең болмағанда нысанаға бір рет тигізудің ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Әуелі бір атыста ең болмағанда бір рет тигізудің ықтималдығын табу керек.

14 Урнада 10 шар. Урнадан екі ақ шар алудың ықтималдығы 2/15 – ке тең. Урнада қанша ақ шар бар еді?

3 Толық ықтималдықтың формуласы Бейес формуласы

Қоймаға үш партия телевизорлар әкелінді. Алынған кез келген телевизордың осы партиялардың әрқайсысынан алынуының сәйкес ықтималдықтары 0,25; 0,5; 0,25 тең. Ал әрбір партиядағы телевизорлардың белгілі мерзім жұмыс істеп шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,7; 0,6; 0,8.

1 Осы партиялардың бірінен алынған телевизордың белгілі мерзім жұмыс істеп шығуының ықтималдығы қандай?

2 Мерзімді уақыт жұмыс істеп шыққан телевизордың екінші партиядан алынғандығының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: 1. Бұл мысалды шығару үшін толық ықтималдықтың формуласын және Бейес формуласын қолдану қажет. Ол үшін әуелі қарастырып отырған оқиғаларды белгілеп алайық:

- телевизор белгілі мерзім жұмыс істейді;

- телевизор бірінші партиядан алынған;

- телевизор екінші партиядан алынған;

- телевизор үшінші партиядан алынған.

Сонда

, , оқиғалар үйлесімсіз және толық группа құрайды. Толық группа құрайтындығының тексерейік.

Сонымен толық ықтималдық формуласының шарттары орындалады, олай болса

2 Енді мерзімді уақыт жұмыс істеп шыққан телевизордың екінші партиядан алынғандығының ықтималдығын Бейес формуласын пайдаланып табамыз

Сол сияқты , табалық

,

Бұл жерде екенін ескертеміз.

Байқап отырғанымыздай, А оқиғасы пайда болғаннан кейін есептелінген мына (i=1, 2, 3) шартты ықтималдықтар , , гипотезаларының ықтималдықтарының өзгергенін көрсетеді.

Ескерту ретінде айтарымыз, бұл формулаларды қолданғанда алынған , , …, гипотезаларының үйлесімсіздігін және толық группа құратындығын тексеру қажет.

Мысал. Атқыш өзіне қарай қозғалып келе жатқан нысанаға оқ жаудырған. Бірінші рет атқанда нысанаға тию ықтималдығы 0,4 және келесі атқан сайын 0,1-ге өсіп тұрады. Тәуелсіз үш атқанда екі рет тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Тәжірибе нысанаға үш рет оқ атуды көрсетеді.

, , оқиғалары сәйкес бірінші, екінші және үшінші атқанда тигізуді белгілесін. Сонда , , оқиғалары тигізбеулер болады.Осы оқиғаларды пайдаланып, үш рет атқанда екі рет тигізу оқиғасын өрнектелік: ; оқиғалары қиылыспайды, ал оқиғалары тәуелсіз. Бұдан шығады

Мұндағы , . Демек , . Олай болса іздеген ықтималдығымыз

.

Мысал 3.

350 бұйымдардың 160 – бірінші сортқа, 110 – екінші сортқа, 80 – үшінші сортқа жатады. Бірінші сортқа жататын бұйымдардың ішінде сапасыз бұйым болуының ықтималдығы 0,01, екінші сортқа жататындардың арасында – 0,02, үшінші сортқа жататындардың арасында – 0,04 тең. Кез-келген бір бұйым алынған. Алынған бұйымның сапалы екенінің ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Белгілеу енгізелік.

А – алынған бұйым сапалы;

- алынған бұйым бірінші сортқа жатады;

- алынған бұйым екінші сортқа жатады;

- алынған бұйым үшінші сортқа жатады;

Сонда

оқиғалары үйлесімсіз. Расында, айталық оқиғасы пайда болды дедік, яғни алынған бір бұйым үшінші сортқа жатады, олай болса оқиғасы оқиғасымен бірге пайда бола алмайды деген сөз. Себебі алынған бір бұйым бір уақытта әрі үшінші, әрі екінші, әрі бірінші сортқа жатуы мүмкін емес қой.

Сондай-ақ оқиғалары толық группа құрайды

Олай болса (1.3.1.) формуласын қолданып,

Мысал 4. Бірдей үш қорапқа бірдей өлшемді шарлар салынған. Бірінші қорапта 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екінші қорапта 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшінші қорапта 7 ақ, 4 қара, 1 қызыл шарлар бар. Кез келген қораптан кез келген шар алынды. Алынған шардың қара шар болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: Мына оқиғаларды қарастырайық:

- алынған шардың түсі қара;

- шар бірінші қораптан алынды;

- шар екінші қораптан алынды;

- шар үшінші қораптан алынды.

Қарастырып отырған оқиғалар үйлесімсіз. Расында, егер, айталық, шар екінші қораптан алынса, онда оқиғасы пайда болады да, оқиғалары пайда бола алмайды. Ойымызды осылай жалғастырып оқиғаларының үйлесімсіз екеніне көз жеткізуге болады. Ал А оқиғасы оқиғаларына тәуелді. Енді үш қораптың бірдей екенін ескеріп:

Осыдан .

Мысал 5

Бірінші урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екінші урнаға 4 ақ, 6 қара бірдей шарлар салынған. Бірінші урнадан бір шар алынып екінші урнаға салынды. Содан кейін екінші урнадан шар алынды. Екінші урнадан алынған шардың түсі қара болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: Мыны оқиғаларды қарастырайық. - бірінші урнадан ақ шар алынды. - бірінші урнадан қара шар алынды, А – екінші урнадан қара шар алынды.

Бұл жерде оқиғаларын қарастыру себебі, ол әуелі бірінші урнадан қандай түсті шар алуға байланысты. Бұл екі оқиға үйлесімсіз және толық группа құрайды. Енді

Сонда толық ықтималдықтың формуласы бойынша

Енді осы есептің шарты орындалсын. Сонда екінші урнадан алынған қара шар бастапқыды бірінші урнадан алынғандығының ықтималдығын табайық:

Мысал 6

Магазинге үш зауыттан бір типтес бұйымдар әкелінген. Барлық әкелінген бұйымдардың бірінші зауыт 50% - тін, екіншісі 30% - тін, үшіншісі 20% - тін жіберген. Бірінші зауыт бұйымдарының 70% - ті, екіншісінің – 80% - ті, үшіншісінің – 90% - ті бірінші сортқа жатады. Бір бұйым сатып алынды және ол бірінші сортқа жататын болып шықты. Сатып алынған бұйымның бірінші зауыттан шығарылғандығының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Келесі гипотезаларды енгізелік:

- сатып алынған бұйым бірінші зауытта істелінген;

- сатып алынған бұйым екінші зауытта істелінген;

- сатып алынған бұйым үшінші зауытта істелінген;

Бұл оқиғалар үйлесімсіз, расында бір бұйым мысалы, екінші зауытта істелген болса, онда ол басқа зауытта істелмегені.

Сондай-ақ, А- сатып алынған бұйым бірінші сортқа жатады.

Енді оқиғаларының ықтималдықтарын, А – оқиғасының шартты ықтималдықтарын табайық.

Сонда

Енді сатып алынған бұйым бірінші зауытта жасалғандығының ықтималдығын Бейес формуласы арқылы анықтаймыз.

.