Есептер

1. Әрбір тәуелсіз 200 кездейсоқ шаманың дисперсиялары 4-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташа санының олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташа санымен ауытқуының 0,3-тен артпауының ықтималдығын бағалау керек.

2. Жұмыс істеуінің ұзақтығын анықтау үшін берілген партиядан кез-келген 150 радиошам алынды. Радиошамның жұмыс істеу ұзақтығының орташа квадраттық ауытқуы 6 сағаттан аспайды. Алынған 150 радиошамдардың жұмыс істеуінің орташа ұзақтығының берілген партиядағы барлық шамдардың жұмыс істеуінің орташа ұзақтығынан айырымының абсолют шамасы 5 сағаттан кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.

3 . Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім қатарымен берілген:

1 ) Х -5n 0 5n

P

2 )

Х -2 2

Р 0,5 0,5

Осы кездейсоқ шамалар тізбектеріне Чебышев теоремасын пайдалануға бола ма?

4. Әрбір 300 тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы 5 –тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасы олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортащасынан ауытқуы 3-тен аспауының ықтималдығын бағалаңыз.

5. Қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы 10-нан аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасының олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташасынан ауытқуының ықтималдығы 0,99-дан кем болмауы үшін қанша кездейсоқ шама алыну керек?

6. Қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың әрқайсысының дисперсиясы 10-нан аспайды. Осындай 16000 кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасы олардың арифметикалық үміттерінің арифметикалық орташасынан ауытқуының 0,25-тен артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.

7. Берілген шаманың шын мәні а. Осы шаманың мәнін анықтау үшін өлшеулер жүргізіледі. Осы өлшеулердің арифметикалық орташа мәнінің а-дан ауытқуы 2-ден кем болуының ықтималдығы 0,95-ке тең болуы үшін қанша өлшеу жасау керек?Әрбір өлшеудің орташа квадраттық ауытқуы 10-нан кіші.

8. Таңдама әдіспен бидай дәндерінің орташа салмағын анықтау керек.Дәндердің салмағының орташа квадраттық ауытқуы белгілі ол-0,04. Таңдама әдіспен алынған дәндердің орташа салмағының осы орташа салмақтың математикалық үмітінен (бұл берілген партиядағы дәндердің орташа салмағы) ауытқуы 0,01-ден артық болмауы 0,9 ықтималдықтан кем болмауы үшін қанша дән тексерілуі керек?

9. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім заңдарымен берілген:

1 . Х -5n 0 5n

P 1-

2 . Х -n 0 n

P

Осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын пайдалануға бола ма?

10. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың әрқайсысының дисперсиясы 4-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташа мәнінің олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташа мәнінен ауытқуының ықтималдығы 0,99-дан артық болмауы үшін қанша кездейсоқ шама болуы керек?

Бернулли теоремасы

Мысал 8

Оқиға тәуелсіз сынақтарда тұрақты 0,2 ықтималдықпен пайда болады. Оқиғаның 900 сынақтарда пайда болу салыстырмалы жиілігінің осы оқиғаның ықтималдығынан ауытқуы 0,04-ден кем болатындығының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Есептің шарттары Бернулли теоремасының шарттарымен сәйкес келеді.Сондықтан n=900,p=0,2, q=0,8, екенін ескеріп, іздеп отырған ықтималдықты бағалау үшін формуланы пайдаланамыз.

Осыдан

Мысал 9

А оқиғасының тәжірибеде пайда болу ықтималдығы 0,75-ке тең. Осы тәжірибелерде оқиғаның пайда болуы салыстырмалы жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуының 0,05-тен артық болмауының ықтималдығы 0,96-ға тең болу үшін қанша тәжірибе жасау керек?

Шешуі: Есептің шарты бойынша

=0,96

формуладан

1-

Осыдан n .

Мысал 10

Зауытта дайындалған бұйымның 90 пайызы бірінші сортқа жатады. Тексеруге 600 бұйым алынды. Тексеруге алынған бұйымдардың ішіндегі бірінші сортқа жататын бұйымдардың үлесінің оның ықтималдығы 0,99-ға тең болуы үшін бұл ауытқу қандай болуы керек?

Шешуі: Есептің шартын пайдалансақ онда мына теңдікті жазамыз

Осыдан,

1-

немесе