2 Ықтималдықтарды қосу теоремасы

Теорема: А мен В оқиғалары бірікпейтін ( үйлесімсіз) болса олардың қосындысының ықтималдығы қосылғыштардың ықтималдықтарының қосындысына тең

P(A+B)=P(A)+P(B)

Дәлелдеу: Барлық жағдайлар саны n, ал А мен В-ға қолайлы жағдайлар саны мен болсын. А мен В бірікпейтін оқиғалар болғандықтан A+B қосындысына + жағдайлары қолайлы болады:

Ескертү: Кез келген А және В оқиғалары үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы былай жазылады

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Салдар: Қос-қостан бірікпейтін бірнеше оқиғалардың біреуінің пайда болу (қосындысының) ықтималдығы әр оқиғаның ықтималдықтарының қосындысына тең

Бұл формула математиқалық индукция әдісімен дәлелденеді.

Мысал: Жәшікте 10 шар бар. 5 қызыл, 3 көк,2 ақ.

Жәшіктен бір шар алынып, оның қызыл немесе көк түсті болу ықтималдығын табу керек:

Шешуі: А-қызыл

В-көк

A+B- қызыл немесе көк шар пайда болуы.

Бірікпейтін оқиғалардың толық тобы. Қарама-қарсы оқиғалар.

Анықтама. Немесе ,т.С.С. Немесе оқиғаларының паида болуы ақиқат оқиға болса онда , оқиғалары толық топ құрады деп атайды, яғни.

Ойын сүйегін, тиын лақтыру

Анықтама. Бірікпейтін,толық топ құратын екі оқиғаны қарама-қарсы оқиға деп атайды.

Мысал: Мылтық атқанда нысанаға тигізу А және тигізбеу оқиғалары, тиын лақтырғанда герб пайда болуы А және цифр пайда болуы оқиғалары қарама-қарсы оқиғалар.

Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең.

Егер P(A)=ρ,P(Ā)=q деп белгілесек онда ρ+q=1,q=1-ρ шығады.

3 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Анықтама. Біреуінің пайда болу ықтималдығы екіншісінің пайда болу немесе пайда болмауына байланыссыз болатын екі оқиғаны тәуелсіз оқиғалар дейді.

Анықтама. А оқиғасының В оқиғасы пайда болғаннан кеиінгі ықтималдығын А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы шартты ықтималдығы деп айтады да былай белгілейді .

Мысал. Жәшікте 4 қара және 6 ақ шар болсын.Бұл жәшіктен екі адам бір-бірден шар алады.

А-бірінші адам жәшіктен ақ шар алу

В-екінші адам жәшіктен ақ шар алу болса А оқиғасының ықтималдығы

болса онда шартты ықтималдық

Теорема. .

Ескерту:Егер А мен В тәуелсіз болса, онда .

Мысал. Жәшікте 15 бірдей бұйым бар. Жәшіктен екі сапалы бұйым алудың ықтималдығы ке тең.Жәшікте қанша сапалы бұйым бар еді?

Шешуі: Белгілеу енгізейік.А-жәшіктен бірінші рет алғанда сапалы бұйым алынды,В-жәшіктен екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиға тәуелді. Сондықтан, егер k-санан, бұйымдар саны десек, онда

Есептің шарты бойынша

Осыдан

Сонымен ,жәшікте 8 сапалы бұйым болды.

4 Толық ықтималдық формуласы

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары ретінде толық ықтималдық формуласын қарастыруға болады.

Теорема. оқиғалары толық топ құратын, бірікпейтін және берілген А оқиғасына ыңғайлы оқиғалар жиыны болсын.

Бұл оқиғаларды гипотезалар (жорулар) деп атайды да А оқиғасы үшін

формуласы орындалып, бұл теңдікті толық ықтималдықтың формуласы деп атайды.

Дәлелдеу. А оқиғасының пайда болуы бірікпейтін немесе немесе т.с.с. немесе оқиғаларының пайда болуына сәйкес келеді, яғни

Бірікпейтін оқиғаларға ықтималдықтарды қосу теоремасын қолдансақ

Тендіктің оң жағын ықтималдықтарды көбейту формуласы арқылы жазсақ

тендікті аламыз.

Мысал. Топта 21 студент бар. Олардың 5-і үздік, 10 жақсы, 6 нашар оқиды. Емтиханда үздік оқитын студенттер тек үздік баға алады. Жақсы оқитындар үздік не жақсы баға алады,ал нашар оқитындар жақсы,орташа немесе нашар бағалар алуы ықтимал. Емтиханға шақырылған бір студенттің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығын тап. Жақсы немесе үздік баға алу оқиғасын А-деп белгілейміз.

Жоруларды былай белгілейік

үздік студент,

жақсы студент,

нашар студент

Ал студенттердің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығы

Толық ықтималдық жалпы формула бойынша былай табылады: