7 Ең ықтимал сан және ең үлкен ықтиалдық
және
ықтималдықтарының
қатынасын алып, түрлендірулер жүргізсек:
(1)
(2)
қатынастан мынандай қорытындыға келеміз:
егер
болса
,
егер
болса ,
егер
болса
Мына
(3) теңсіздіктері қанағаттандыратын бір
ғана
бүтін
саны бар. Сонымен мынандай теорема
дәлелденеді.
Егер
m саны 0-ден n-ге дейін өссе, онда
ықтималдығы
алдымен монотонды өседі, содан кейін
болғанда
өзінің ең үлкен мәнін қабылдайды, ал
одан соң монотонды кемиді. (3) теңсіздіктермен
анықталатын
санын
ең ықтимал сан деп атайды. Жоғарыда
дәлелденген теорема бойынша
ықтималдығы
барлық
ықтималдықтардың
ішінде ең үлкені болады.
Мысал. Белгілі бір технологиялық процесте барлық өндірілген өнімнің 85 проценті жоғарғы сортты. 150 бұйымнан тұратын партияның ішіндегі жоғарғы сортты бұйымдардың ең ықтимал санын табу керек.
Есептің
шарты бойынша
Ең
ықтимал санды (3) тенсіздіктерден табамыз
бұдан
Сондықтан
да 150 бұйымнан тұратын партияның ішіндегі
жоғары сортты бұйымдардың ең ықтимал
саны-
.
Лаплас Пьер Симон (1749-1827) француз математигі,физигі,астрономы Париж,Петербург академияларының мүшесі. Наполеон кезінде ішкі істер министрі болған.
Муавр Абдрахман де (1667-1754) ағылшын математигі.
8 Лапластың локальдық теоремасы
А
оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгенде
k рет пайда болу ықтималдығын
-ны
есептеу үшін Лапластың локальдық
теоремасы қолданылады.
Теорема.
Егер А оқиғасының әрбір тәжірибе
жүргізгендегі ықтималдығы
тұрақты
болса, онда n рет тәжірибе жүргізгендегі
А оқиғасының тура k рет пайда болуының
ықтималдығы мына формуламен жуықтан
есептеледі.
мұндағы
ал
-функцияның
мәндері арнайы кестеде келтірілген.
-функциясы
жұп болғандықтан
Ал
болған
мәндерінде
деп есептеледі.
y
x
Мысал
Тәуелсіз
600 сынақтарда тұрақты
ықтималдықпен
пайда
болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі
9 Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы
Теорема.
Егер А оқиғасының әрбір тәжірибе
жүргізгендегі ықтималдығы
тұрақты
және тәжірибе саны n жеткілікті үлкен
болса, онда А оқиғасының
-ден
кем емес
-ден
артық емес рет пайда болуының ықтималдығы
мына формула бойынша жуықтан есептелінеді.
Мұндағы
функциясы таң функция, яғни
функциясын Лаплас функциясы дейді. Оның
мәндері арнайы кестеде келтірілген.
Аргумент х тің мәні бестен үлкен болғанда,
алынады.
Мысал.
А оқиғасының әрбір тәжірибе жүргізгендегі
ықтималдығы
Осы
оқиғаның 100 тәжірибе жүргізгенде 75 ден
кем емес ,90-нан артық емес рет пайда болу
ықтималдығын тап.
Муавр-Лапластың интегралдық теоремасын қолданамыз.
Шешуі
Есептер шығару:
кітаптың 300 беті бар.
Ашқан беттің реттік нөмірінің беске бөліну ықтималдығы қандай?
Жалпы жағдай
қолайлы
жағдай.
Іздеп отырған ықтималдық
-
ашқан беттің реттік нөмірі беске
бөлінетін жағдайдың ықтималдығы
екі таңбалы сандардан алынған
Санның цифрлары бірдей болу ықтималдығы қандай?
Шешуі. 10 нан 99 n=90-жалпы жағдай
K=11,22,33,44,55,66,77,88,99 m=9
11k=99 k=9
Керекті
ықтималдық
дифференциал сөзінен бір әріп алынған. Осы әріптің дауысты,дауыссыз немесе ж әріпі болу ықтималдығын тап.
Шешуі:
А-дауысты әріптер
В-дауыссыз әріптер
С-ж әріпі жоқ
Барлық әріптер саны n=12
Сондықтан,
