20 Көрсеткіштік үлестірім заңы

Анықтама. Егер Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы

теңдігі арқылы анықталса, онда Х кездейсоқ шамасы көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп атайды.

Үлестірім функциясын табатын болсақ

Енді математикалық үмітін есептейік:

бөліктеп интегралдаймыз

U=x, du=dx

=

Дисперсияны есептеу үшін M(x²) мәнін табамыз

Дисперсияның мәнін Д(х)=М(х²)-М²(х) формуласымен есептесек

Бұдан көрсеткіштік үлестірім заңы үшін

21 Гаусс үлестірім заңы

Анықтама. Егер ықтималдық тығыздығы аралығында келесі функция арқылы анықталса

үздіксіх Х кездейсоқ шамасы Гаусс немесе қалыпты үлестірім заңы бойынша үлестірілген деп аталады.

- қалыпты үлестірім заңының параметрлері. Гаусс заңы Х кездейсоқ шамасы көп факторларға тәуелді болған жағдайда қолданылады.

Гаусс заңы бойынша үлескен кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық

Гаусс заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті осы үлестірімнің анықтамасына қатысты а параметріне тең болады.

Енді Гаусс заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын анықтайық.

Жоғарыдағы анықтамадағы f(x) функциясының а параметрі математикалық үмітті, параметрі дисперсияны, -орташа квадраттық ауытқуды көрсетеді .

Ықтималдық тығыздығының сүлбесі Гаусс қисығы деп аталынады. Гаусс қисығының келесі қасиеттерін атап өтейік.

1. Гаусс қисығы х=а түзуіне қарағанда симметриялы орналасқан.

2. х=а нүктесінде функцияның экстремумы, яғни

3. y=0, яғни х өсі қисықтың горизонталь (жатық) асимптотасы.

4. мәнінің өзгеруі Гаусс қисығының сүлбесінің Х өсіне қарағанда параллель жылжуын көрсетеді

5. мәнінің өзгеруі Гаусс қисығының түрінің өзгеруіне әсер етеді, яғни функцияның максимум мәніне ойыстық,дөңестік интервалына өзгеріс еңгізеді.

f(x)

x

0 x=a

22 Гаусс үлестірім заңымен анықталған кездейсоқ шаманың берілген интервал мәндерін қабылдау ықтималдығы

Егер ықтимал тығыздығы f(x) функциясы арқылы берілсе, теңcіздігінің ықтималдығы

формуласымен анықталады.

Ал Гаусс үлестірім заңы бойынша берілген Х үздіксіз кездейсоқ шамасы үшін

Анықтама Үздіксіз Х шамасының модасы М₀(х) дегеніміз үлестірім тығыздығының максимумы.

Үздіксіз кездейсоқ Х шамасының медианасы мына теңдікпен анықталады:

яғни егер х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда

Үлестірім қисығымен шектелген аудан тең екі бөлікке бөлінеді.

Егер

болса онда кездейсоқ шама х-тің аралығында жату ықтималдығы

мәніне тең.

Осы теңдіктен мына төмендігідей ықтималдықтар шығады.

1. 

2. 

3. 

Ереже. Егер х- кездейсоқ шамалы Гаусс заңымен үлестірілген болса, онда кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауыткқуының абсолют шамасы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіші болады.

Керісінше тұжырымда орынды:

Кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуының абсолют шамалы үш еселенген орта квадрат ауытқудан кіші болу ықтималдық бірге жақын мән қабылдаса ол кездейсоқ шама Гаусс заңымен үлестірілген болады. Бұл тұжырымды “үш сигма” ережесі деп атайды.

“Үш сигма” ережесінің өмірде қолданылуы өте көп, практикалық маңызы зор.

ЕКІНШІ ТАРАУ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

ТАҢДАМАЛАР ҮЛЕСТІРУІНІҢ ЭМПИРИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯСЫ

Ықтималдықтар теориясы арқылы есептелінген кездесоқ шамалардың сипаттамаларын (кездейсоқ шаманың орта мәні математикалық үміті, дисперсиясы, моменттері мода,медиана,т,с,с, тәжірибе арқылы да жуықтап есептеуге болады. Кездейсоқ шамалардың арасындағы әртүрлі байланысты яғни корреляцияны анықтаудың әдісін математикалық статистика дейді.

Тәжірибе жүргізуші экспериментатор бір шаманы өлшей отырып х₁,х₂,…х_n мәндерін алған болсын дейік. Ол шаманы бақылау, өлшеу шарттары өзгермей қалып, бір тәжірибеде екіншісіне көшу бір-біріне тәуелсіз болсын. Өлшеу нәтижесінде шексіз көп факторлар әсер ететін болғандықтан бақыланған нәтижелер әртүрлі кездейсоқ мәндер қабылдайды. Өлшенетін барлық N бұйымның мәндер жиынтығын бас /генеральная/ жинақ (жиынтық) дейді, ал олардың ішіндегі n мәндер жиыны таңдама құрады х₁,х₂,…х_n таңдамасындағы n саны таңдама көлемі деп аталады.

Егер кестенің бірінші жолында тәжірибенің реті /номері/ ал екінші жолында кездейслқ Х шамасының өлшенген мәні кәрсетілсе ол кестені статистикалық қатар деп атайды.

Егер кестенің бірінші жолында Х кездесоқ шамасының таңдамасы өсу тәртібімен орналасса,ал екінші жолы сол мәндердің неше рет қайталануы немесе оның жиілігін көрсететін болса, онда ондай кестені вариациялық қатар деп атайды. Өлшенетін Х шамасын вариация деп атайды (2.1-кесте).

n_i жиіліктерінің қосындысы тәжірибе санына тең, яғни

Х вариация	X1	X2	…	Xk
ni	n1	n2	…	nk

(2.1-кесте)

Бұл кесте таңдаманың көлемі n болатын жиіліктің үлестірім көрсетеді.

Салыстармалы жиілік деп жиіліетің таңдама көлеміне қатынасын айтады. Салыстырмалы жиіліктің үлестірімі 3.2-кесте арқылы жазылады. Ондағы

Х вариация	Х1	X2	…	xk
Wiсалыстырмалы жиілік	n1/n	n2/n	…	nk/n

(2.2-кесте)

Барлық тәжірибе саны n (таңдама көлемі) ,ал n_х кездейсоқ

шама х-тің х-тен кіші болатын мәндер саны болсын.

Анықтама. Үлестірімнің эмпериалық функциясы мына тендікпен анықталады:

/1/

Яғни, үлестірімнің эмперикалық функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.

Х кездейсоқ шамасының үлестірім F^*(x) функциясын ол шаманың теориялық үлестірім функциясы дейді.

Үлестірімнің теориялық F(х) фунуциясы оқиғасының ықтималдығын көрсетсе, үлестірімнің эмперикалық F_n^* (x) функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.

Үлестірімнің эмперикалық функциясы тің келесі қасиеттері болады:

1⁰ функциясы 0 мен 1 аралығындағы мәндерді қабылдайды,себебі .

2⁰ -кемімейтін функция, себебі Х артқан сайын n_x мәні кемімейді.

3⁰ Егер Х₁ кездейсоқ Х шамасының ең кіші мәні болса, онда үшін =0, ал х_k ең үлкен мәні болса, онда мәндері үшін =1.

Мысал. Таңдаманың үлестірімі бойынша эмперикалық функцияны табу керек.

Ш ешуі. Таңдаманың көлемі х вариация 4 6 10

/1/ формула n₁=жиілік 12 18 30

бойынша

1

0,5

0,2

0 4 6 10 х

1-сурет