3.5. Параметризация нелинейной модели

Параметризация нелинейных парных моделей имеет свою специфику. Конечно, можно воспользоваться нелинейным МНК. Идея такого подхода такова же, как и в линейном случае: минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (наблюдаемых) значений , , зависимой переменной от теоретических значений , , полученных по уравнению регрессии:

.

Главный недостаток такого подхода заключается в том, что для нахождения значений параметров приходится решать весьма сложные системы нелинейных уравнений.

В эконометрических исследованиях большее распространение получил метод определения параметров нелинейной парной регрессии, основанный на применении процедур линеаризации. Он состоит в том, что с помощью соответствующих преобразований исходных переменных исследуемая зависимость представляется в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Для оценки параметров регрессии, нелинейной относительно включенной в уравнение объясняющей переменной, но линейной по оцениваемым параметрам, используется подход, называемый «замена переменных». Суть его состоит в замене «нелинейных» объясняющих переменных новыми «линейными» переменными. После этого к новой регрессии применяется обычный МНК. Например, модель гиперболической регрессии параметризуется после замены и как линейная модель .

Для оценки параметров регрессии, нелинейной по оцениваемым параметрам, часто применяется метод логарифмирования с последующей заменой переменных. Например, уравнение экспоненциальной регрессии параметризуется как линейная модель после логарифмирования и введения новых переменных и .

В таблице 3.1 приведены виды нелинейных парных регрессий и формулы замен переменных.

Метод линеаризации для оценки параметров парной регрессии удобен тем, что он может быть легко реализован в стандартных пакетах прикладных компьютерных программ (например, Excel). Недостаток подхода проявляется в том, что оценки параметров регрессии в таком случае получаются несколько смещенными. Это связано с тем, что сами оценки находятся не из условия минимизации суммы квадратов отклонений исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же.

Таблица 3.1. Оценки параметров нелинейных моделей регрессии

Вид регрессии	Линеаризующее преобразование
Экспоненциальная регрессия	, (после логарифмирования)
Логарифмическая регрессия	,
Степенная регрессия	, (после логарифмирования)
Показательная регрессия	, (после логарифмирования)
Гиперболическая регрессия	,

3.6. Оценка тесноты линейной связи между переменными

Уравнение парной регрессии всегда дополняется показателями тесноты связи между переменными. При использовании линейной регрессии такими показателями являются выборочная ковариация и линейный коэффициент корреляции.

Выборочной ковариацией называется среднее произведений отклонений значений переменных и от своих средних величин , :

Пусть точка является центром корреляционного поля эмпирической зависимости между переменными и (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Разброс точек корреляционного поля около средних значений

Тогда вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через нее, разделяют плоскость поле на четыре области. Положительный вклад в ковариацию формируется в областях I и III, а отрицательный – в областях II и IV. Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, а большинство точек поля будет сосредоточено в областях I и III, группируясь возле возрастающей прямой.

Поэтому ковариация характеризует не только величину рассеивания значений факторов и , но и линейную связь между ними:

– при связь между факторами x и y прямая, т.е. большим значениям x соответствуют большие значения y;

– при связь между факторами x и y обратная, т.е. большим значениям x соответствуют меньшие значения y;

– при линейная связь между и отсутствует.

Более подходящим измерителем взаимосвязи переменных x и y, чем выборочная ковариация, является линейный коэффициент корреляции . Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные x и y, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная.

Линейным коэффициентом корреляции факторов x и y называется величина, определяемая по формуле

.

Линейный коэффициент корреляции логически связан с коэффициентом линейной регрессии. Эта связь, в частности, проявляется через формулу

.

Качественная оценка тесноты линейной связи между переменными x и y в зависимости от величины линейного коэффициента корреляции выявляется по шкале английского статистика Чеддока (таблица 3.2). В соответствии с этой шкалой выделяются пять качественных уровней связи между двумя переменными: слабая, умеренная, заметная, высокая и весьма высокая.

Таблица 3.2. Шкала Чеддока

Теснота связи	Значение линейного коэффициента корреляции при наличии
	прямой связи	обратной связи
Слабая	0,1–0,3	(-0,1)–(-0,3)
Умеренная	0,3–0,5	(-0,3)–(-0,5)
Заметная	0,5–0,7	(-0,5)–(-0,7)
Высокая	0,7–0,9	(-0,7)–(-0,9)
Весьма высокая	0,9–0,99	(-0,9)–(-0,99)

Выборочный коэффициент корреляции устанавливает также напрвление линейной связи (прямая или обратная):

1) при большим значениям x соответствуют большие значения y (рисунок 3.5 а));

2) при большим значениям x соответствуют меньшие значения y (рисунок 3.5 б)).

Кроме того, он указывает, что:

– при величины x и y являются некоррелированными: величина коэффициента корреляции, близкая к нулю, говорит об отсутствии линейной связи между величинами, но не об отсутствии связи между ними вообще (рисунок 3.5 в));

– при существует линейная функциональная зависимость между выборочными значениями и (прямая или обратная); точки лежат точно на прямой.

а) б)

в)

Рис. 3.5. Значение коэффициента корреляции

в зависимости от вида корреляционного поля