Примеры решения типовых заданий

Пример 3.1. По статистическим данным, приведенным в таблице 3.3, построить корреляционное поле зависимости спроса на товар от его цены и определить форму связи между результирующим признаком и фактором _.

Таблица 3.3. Статистические данные примера 3.1

Цена товара	Спрос на товар
99	100
82	115
77	210
69	270
52	323
44	478
31	544
29	564
28	570
27,5	574

Решение:

Из вида корреляционного поля (рисунок 3.8) можно сделать вывод о том, что между результирующим признаком и фактором существует обратная зависимость, т.е. с ростом цены спрос на товар уменьшается. Такое поведение спроса в зависимости от цены согласуется с выводами экономической теории. Можно предположить также, что форма связи между результирующим признаком и фактором является линейной.

Рис. 3.8. Корреляционное поле статистической зависимости

между спросом и ценой

Пример 3.2. В таблице 3.4 представлена информация по семи территориям некоторого региона о значениях процентной доли расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах ( ) и значениях среднедневной заработной платы одного работающего ( ).

Таблица 3.4. Статистические данные примера 3.2

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах (в процентах, )	Среднедневная заработная плата одного работающего (в денежных единицах, )
68,8	45,1
61,2	59,0
59,9	57,2
56,7	61,8
55,0	58,8
54,3	47,2
49,3	55,2

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих регрессий:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) гиперболической.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации , индекс корреляции и -критерий Фишера.

Решение:

1а) Для расчета параметров и линейной модели решаем систему уравнений (3.2) относительно и .

Соответствующие вычисления сведем в таблицу 3.5.

Таблица 3.5. Вычисление параметров и

1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Сумма	405,2	384,3	22162,34	21338,4	23685,76	405,2	0,0	56,7
Среднее	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	-	-	8,1
	5,74	5,86	-	-	-	-	-	-
	32,92	34,34	-	-	-	-	-	-

Теперь по формулам (3.3) находим:

Уравнение линейной регрессии имеет вид . С увеличением среднедневной заработной платы на одну денежную единицу доля расхода на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Изменения результата на 12,7% объясняются влиянием фактора .

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения , определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитываем наблюдаемое значение -критерия: = . По таблице значений -критерия при уровне значимости находим . Так как , то следует принять гипотезу о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б) Построению уравнения степенной регрессии предшествует процедура линеаризации переменных. В данном примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

,

,

где

Все расчеты сведем в таблицу 3.6.

Рассчитаем и :

Получим линейное уравнение .

Выполнив его потенцирование, получим уравнение регрессии:

Таблица 3.6. Вычисление параметров и

1	1,8376	1,6542	3,0398	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
2	1,7868	1,7709	3,1642	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
3	1,7774	1,7574	3,1236	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
4	1,7536	1,7910	3,1407	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
5	1,7404	1,7694	3,0795	3,1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
6	1,7348	1,6739	2,9039	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
7	1,6928	1,7419	2,9487	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16,4
Сумма	12,3234	12,1587	21,4003	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
Среднее	1,7605	1,7370	3,0572	3,0194	-	-	28,27	8,0
	0,0425	0,0484	-	-	-	-	-	-
	0,0018	0,0023	-	-	-	-	-	-

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитываем показатели тесноты связи: индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации :

,

Значения показателей и степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной регрессии описывает взаимосвязь.

1в) Построению уравнения показательной регрессии предшествует процедура линеаризации путем логарифмирования обеих частей уравнения:

,

где .

Все расчеты сведем в таблицу 3.7.

Вычислим значения параметров регрессии и :

Полученное линейное уравнение принимает вид

Произведем потенцирование полученного уравнения, получим уравнение регрессии:

Таблица 3.7. Вычисление параметров и

1	1,8376	45,1	82,8758	2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
2	1,7868	59,0	105,4212	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
3	1,7774	57,2	101,6673	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
4	1,7536	61,8	108,3725	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
5	1,7404	58,8	102,3355	3457,44	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	1,7348	47,2	81,8826	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
7	1,6928	55,2	93,4426	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Сумма	12,3234	384,3	675,9974	21338,4	403,0	-1,8	200,78	56,3
Среднее	1,7605	54,9	96,5711	3048,34	-	-	28,68	8,0
	0,0425	5,86	-	-	-	-	-	-
	0,0018	34,33	-	-	-	-	-	-

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

Связь умеренная. Средняя ошибка аппроксимации в допустимых пределах: . Показательная функция чуть хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.

1г) Уравнение гиперболической регрессии линеаризуется заменой . Тогда

Все расчеты сведем в таблицу 3.8.

Вычислим значения параметров регрессии и :

Получим уравнение регрессии Вычислим индекс корреляции

Таблица 3.8. Вычисление параметров и

1	68,8	0,0222	1,5255	0.000492	61,8	7,0	49,00	10,2
2	61,2	0,0169	1,0373	0.000287	56,3	4,9	24,01	8,0
3	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	56,9	3,0	9,00	5,0
4	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	55,5	1,2	1,44	2,1
5	55	0,0170	0,9354	0,000289	56,4	-1,4	1,96	2,5
6	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	60,8	-6,5	42,25	12,0
7	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	57,5	-8,2	67,24	16,6
Сумма	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	405,2	0,0	194,90	56,5
Среднее	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	-	-	27,84	8,1
	5,74	0,002145	-	-	-	-	-	-
	32,9476	0,000005	-	-	-	-	-	-

Средняя ошибка аппроксимации в допустимых пределах: . Для гиперболического уравнения регрессии получена наибольшая оценка тесноты связи (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями).

2. Для гиперболической регрессии вычислим наблюдаемое значения критерия Фишера:

Тогда при имеем, что Следовательно, принимается гипотеза о статистически незначимых параметрах уравнения гиперболической регрессии. Поэтому общее качество и этой модели следует признать невысоким.

Полученные результаты можно объяснить сравнительно невысокой теснотой зависимости между результирующим признаком и фактором , а также небольшим числом наблюдений ( ).

Пример 3.3. По данным таблицы 3.9 построить линейное уравнение регрессии, отражающее зависимость стоимости квартиры от ее жилой площади.

Для построенного уравнения вычислить:

1) коэффициент корреляции,

2) коэффициент детерминации;

3) наблюдаемое значение критерия Фишера;

4) стандартные ошибки коэффициентов регрессии;

5) доверительные интервалы коэффициентов регрессии.

Осуществить точечный и интервальный прогнозы по построенной модели в случае, когда площадь квартиры составляет 41 кв. м.

Таблица 3.9. Статистические данные примера 3.3

№ п/п	Стоимость (доллары)	Жилая площадь (кв. м.)
1	5000	30,2
2	5200	32
3	5350	32
4	5880	37
5	5430	30
6	5430	30
7	5430	30
8	5350	29
9	5740	33
10	5570	31
11	5530	30
12	6020	34
13	7010	38
14	6420	31
15	7150	39
16	7190	39,5