4.7. Введение фиктивных переменных в модель

Для того, чтобы ввести фиктивную переменную в регрессионную модель, ей необходимо присвоить некоторые числовые значения, придав тем самым фиктивным переменным количественное содержание. В случае дихотомической переменной это делается следующим образом. Фиктивной переменной придается значение 1, если признак присутствует в наблюдении, и 0 – при его отсутствии. Таким образом, если z – дихотомическая переменная, то в описанном выше двоичном виде она формализуется равенством

Что касается фиктивной переменой, имеющей k уровней качества (k > 2), то при построении регрессионной модели она заменяется на дихотомическую фиктивную переменную.

Например, при исследовании зависимости заработной платы от стажа работника и его образования модель может быть представлена в виде:

,

где – часть заработной платы, объясняемая стажем,

Третьей дихотомической переменной z₃ и не требуется, так как если работник имеет начальное образование, то это уже учтено при . Более того, с точки зрения требований к качеству модели ее вводить нельзя, так как тогда для любого работника

z₁ + z₂ + z₃= 1,

то есть переменные становятся линейно зависимыми, а это приводит к появлению мультиколлинеарности. Такая ситуация совершенной мультиколлинеарности получила название «ловушка фиктивной переменной». Чтобы избежать ее, необходимо руководствоваться следующим простым правилом.

Если фиктивная переменная z имеет k качественных уровней, то при моделировании вместо нее используются дихотомическая переменная z₁, z₂, …, z_k-1.

4.8. Тест Чоу

Иногда выборка наблюдений состоит из двух или более подвыборок, и трудно установить, следует ли оценивать одну объединенную регрессию или отдельные регрессии для каждой подвыборки.

Предположим, что ставится задача не только построить модель зависимости цены p квартиры от факторов x₁, x₂, …, x_m, но и решить вопрос существенности (или несущественности) влияния фактора: «квартира в панельном или кирпичном доме». Другими словами, необходимо выяснить, можно ли считать одним и тем же уравнение регрессии для панельных и кирпичных домов или необходимо всю имеющуюся выборку разбить на две части (одну для панельных домов, а другую для кирпичных) и построить для каждой из них свое уравнение регрессии.

Формальный статистический тест для оценки объединенной регрессии в сравнении с регрессиями для подвыборок был предложен Грегори Чоу.

Суть теста Чоу заключается в следующем:

1) полная выборка объема n разбивается на две подвыборки А и В объемами n₁ и n₂ соответственно (n = n₁ + n₂);

2. для полной выборки, а также для подвыборок А и В оцениваются параметры линейных уравнений регрессии:

, (0)

, (1)

; (2)

2. выдвигается и проверяется с помощью F-статистики гипотеза о равенстве друг другу соответствующих коэффициентов регрессии, а именно гипотеза , .

Наблюдаемое значение статистики вычисляется по выборочным данным на основании формулы

,

где – сумма квадратов отклонений выборочных значений от соответствующих значений, рассчитанных по уравнению регрессии (j), , , – объем выборки.

Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы и . Если , то гипотеза отклоняется. В этом случае моделирование следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если же , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу, а значит, ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения.