6.3. Выявление структуры временного ряда

При наличии во временном ряде тренда и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда, сдвинутыми на определенный промежуток времени , называют автокорреляцией уровней ряда. При этом величина сдвига _{называется лагом.}

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на лаг (рекомендуемая максимальная величина сдвига – не более , где – число наблюдений). Такой коэффициент называется коэффициентом автокорреляции -ого порядка и обозначается через (величина лага определяет порядок коэффициента автокорреляции).

В частности, формула для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка получается из формулы линейного коэффициента корреляции

если переменная принимает значения , а переменная принимает значения _:

, , .

Аналогично имеем:

, , ;

...........................................................................................................

, , .

Для выявления структуры (состава компонент) временного ряда используют автокорреляционную функцию, под которой понимается последовательность

коэффициентов автокорреляции первого, второго и более высоких порядков.

График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущими и предыдущими уровнями наиболее тесная.

Если в последовательности самым высоким оказывается коэффициент , то исследуемый ряд содержит тенденцию и, скорее всего, только ее. Если наиболее высоким оказывается коэффициент , k > 1, то ряд содержит циклические колебания с периодом k.

Если ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать следующий альтернативный вывод:

• либо ряд не содержит тренда и периодических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

• либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Таким образом, автокорреляционную функцию целесообразно применять

для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и сезонной компоненты .

Существуют и другие подходы идентификации временного ряда. Например, если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то он может быть выявлен с помощью визуальной оценки уровней временного ряда или анализа его точечного графика.

Другой простой прием обнаружения тенденции развития явления – укрупнение интервала временного ряда. Смысл этого приема заключается в том, что первоначальный временной ряд преобразуется и заменяется другим, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени.

Для проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду могут быть использованы статистические подходы, в частности, – метод сравнения

средних уровней временного ряда.

В соответствии с этим методом временной ряд, содержащий наблюдений, разбивается на две приблизительно равные части объемами и ( ). Каждая из частей рассматривается как самостоятельный временной ряд, имеющий нормальное распределение. Если полный временной ряд имеет тренд, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тренда. Гипотеза о наличии тренда проверяется при условии однородности выделенных частей временного ряда.

Условие однородности оценивается с помощью -критерия Фишера. Пусть – выборочные дисперсии выделенных частей временного ряда. Если при имеет место неравенство , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве дисперсий частей временного ряда, дисперсии различаются незначимо и считается, что выделенные части временного являются однородными ( – критическое значение статистики Фишера при уровне значимости и числе степеней свободы , ).

Далее для частей временного ряда вычисляются средние арифметические значения и применяется t-статистика, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным .

Тренд во временном ряду присутствует, если

.