Ответы тестовых заданий

Номер задания	Ответы	Номер задания	Ответы	Номер задания	Ответы
1	а)	12	б)	23	в)
2	а)	13	а)	24	б)
3	а), г)	14	г)	25	г)
4	а), б)	15	в)	26	в)
5	б)	16	г)	27	б)
6	а)	17	а)	28	в)
7	б)	18	б)	29	а)
8	б)	19	г)	30	а)
9	а)	20	а)	31	а)
10	б)	21	г)	33	в)
11	а)	22	в)	33	б)

Глава 4

Модели множественной регрессии

Основные понятия: множественная регрессионная модель, множественная линейная регрессионная модель, матрица парных коэффициентов корреляции, классическая нормальная линейная модель множественной регрессии, коэффициент множественной корреляции, уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе, коэффициент (индекс) детерминации, условия Гаусса-Маркова для множественной регрессионной модели, фиктивные переменные, дихотомические переменные, тест Чоу.

Литература: [2-4], [7], [9-11].

4.1. Постановочный этап

Экономические явления и процессы, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. При этом не всегда удается выделить один доминирующий фактор, влияющий на результативный признак. В таких случаях, когда необходимо учитывать влияние двух или более факторов, вместо парной регрессии применяется множественная регрессия.

Множественная регрессионная модель имеет вид

, (4.1)

где – зависимая переменная (результативный признак), – независимые переменные (факторы), – случайная ошибка.

Множественные регрессионные модели широко используются при решении проблем спроса и предложения, при описании потребительских и производственных функций, для исследования многих макро- и микроэкономических проблем.

Например, производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от факторов производства. Наиболее известна модель Кобба-Дугласа , где – объем производства, – затраты капитала, – затраты труда, – параметры модели, – случайная ошибка.

В 30-е годы Кейнс сформулировал гипотезу потребительской модели, которая сегодня чаще всего рассматривается как модель вида , где – потребление, – доход, – цена, индекс стоимости жизни, – наличные деньги, – ликвидные активы. В частности, достаточно реалистична упрощенная модель спроса, имеющая вид , где – объем потребления товара, – доход, – цена, – параметры модели, – случайная ошибка. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов и определить при этом их индивидуальное и совокупное влияние на результативный фактор.

Общая постановка задачи множественной регрессии заключается в следующем: по имеющимся данным n наблюдений за изменением признака y в зависимости от наборов значений факторов выбрать эконометрическую модель , оценить ее параметры и статистически обосновать, что факторы существенны, а построенная функция наиболее точно соответствует данным наблюдений.

4.2. Спецификация модели множественной регрессии

Спецификация модели множественной регрессии включает решение двух задач. Первая задача заключается в выборе независимых переменных . Вторая задача состоит в выборе формы зависимости y от переменных .

При этом сами факторы , включаемые в модель, должны отвечать следующим требованиям:

1) быть количественно измеримыми;

2) быть тесно связанными с результативным признаком;

2) не должны быть коррелированными между собой.

При нарушении требования 3) невозможно определить индивидуальное влияние отдельных регрессоров на результат , что является весьма актуальным для осуществления прогнозов и принятия управляющих решений.

Отбор факторов , как правило, осуществляется в несколько этапов. Сначала отбираются факторы, связанные с изучаемым явлением на основе данных теоретического исследования (т.е. на основе экономической теории, заключений специалистов и т.д.). Далее отобранные факторы подвергаются проверке существенности их влияния на изучаемый показатель с использованием методов математической статистики, малозначимые факторы при этом из модели исключаются.

Один из методов отбора факторов базируется на анализе матрицы (таблицы) парных коэффициентов корреляции (таблица 4.1). Элементами ее являются линейные коэффициенты парной корреляции факторов как с зависимой переменной , так и между собой. Отметим, что в таблице 4.1 коэффициенты и , а также и совпадают, так как теснота связи между и такая же, как между и (аналогично, для и ).

По данным такой матрицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную , а какие – несущественно, а также определить взаимосвязь между факторами, т.е. корреляцию между объясняющими переменными. Считается, что две переменные и явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в высокой линейной зависимости, если . В таком случае одна из них исключается из модели. Предпочтение отдается тому фактору, который достаточно тесно связан с результативным фактором, но имеет при этом наименьшую тесноту связи с другими объясняющими факторами.

Таблица 4.1. Матрица (таблица) парных коэффициентов корреляции

	y	x1	x2	…	xm
y	1			…
x1		1		…
x2			1	…
…	…	…	…	…	…
xm				…	1

В процедуре построения множественной регрессионной модели правильный отбор факторов весьма важен. Результаты неправильной спецификации переменных в уравнении отражаются на модели следующим образом:

1) если опущена переменная, которая должна быть включена, то оценки регрессии часто оказываются смещенными;

2) если включена переменная, которая не должна присутствовать в уравнении, то оценки регрессии могут быть несмещенными, но неэффективными.

Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разными. Наиболее широкое применение получили следующие два метода, дающие в целом близкие результаты:

– метод исключения (на первом шаге строится уравнение регрессии с полным набором факторов, а затем после исключения коллинеарных факторов отбираются факторы, имеющие наибольшее влияние на изменение результативного признака, менее значимые факторы при этом исключаются);

– метод включения (заключается в поэтапном введении новых факторов в регрессионную модель).

Относительно формы зависимости различают линейные и нелинейные множественные модели.

Модель множественной линейной регрессии описывается уравнением

, (4.2)

где коэффициенты , j = 1, 2,…, m, характеризуют среднее изменение результата с изменением фактора на единицу при неизменном значении других факторов.

Ввиду отмеченной четкой интерпретации коэффициентов уравнения (4.2) линейные множественные модели широко представлены в эконометрическом анализе. Однако реальное соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями.

В таком случае прибегают к нелинейным моделям, среди которых наиболее часто применяются:

– степенная (тогда , где j = 1, 2,…, m, – коэффициенты эластичности, которые показывают, на сколько процентов изменится в среднем результат с изменением фактора на 1% при неизменности действия других факторов);

– экспоненциальная ;

– гиперболическая .

Используются и другие нелинейные функции. Правильность выбора формы модели определяется на этапе верификации.