Решение:
1. По
статистическим данным строим модель
парной регрессии,
параметры
которой оцениваем обычным методом
наименьших квадратов. С помощью табличного
процессора MS
Excel
определяем коэффициенты уравнения
регрессии:
;
.
Уравнение регрессии имеет вид
.
Уравнение
регрессии статистически значимо на
уровне =0,05:
коэффициент детерминации имеет значение
;
;
.
Значение коэффициента уравнения показывает, что при росте индекса рынка на 1 пункт цена акции возрастает в среднем на 0,304 дол.
График зависимости от представлен на рисунке 5.7.
Рис. 5.7. График разброса точек наблюдений
относительно линии регрессии
2. Построим график временного ряда остатков регрессии (рисунок 5.8) и проведем его визуальный анализ. В таблице 5.5 приведены наблюдаемые и теоретические значения переменной , а также значения остатков .
Таблица 5.5. Наблюдаемые и теоретические значения переменной
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
244 |
222 |
201 |
186 |
215 |
248 |
256 |
255 |
217 |
224 |
263 |
292 |
|
152 |
154 |
149 |
136 |
139 |
148 |
152 |
156 |
152 |
156 |
169 |
176 |
|
156 |
149 |
143 |
138 |
147 |
157 |
160 |
159 |
148 |
150 |
162 |
170 |
|
-3,9 |
4,8 |
6,2 |
-2,3 |
-8,1 |
-9,1 |
-7,6 |
-3,2 |
4,3 |
6,2 |
7,3 |
5,5 |
Рис. 5.8. График остатков
Визуальный анализ графика 5.8 указывает на положительную автокорреляцию остатков: видно, что на графике имеются чередующиеся зоны положительных и отрицательных остатков регрессии. Проверим это предположение методом Дарбина-Уотсона. Определяем -статистику по формуле
.
Критические
значения
-критерия
для числа наблюдений
и уровня значимости =0,05
составляют
и
.
Так как
,
то это свидетельствует о наличии
положительной автокорреляции остатков.
3. Применим обобщенный метод наименьших квадратов для оценки параметров исходной модели, для чего преобразуем исходные данные по формулам , , .
Преобразованные данные представим в виде таблицы 5.6.
Таблица 5.6. Преобразованные данные
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
- |
65,7 |
58,8 |
57,3 |
95,9 |
110,3 |
97,2 |
91,0 |
53,7 |
85,0 |
119,5 |
123,6 |
|
- |
56,7 |
50,4 |
40,6 |
51,9 |
59,0 |
57,2 |
58,7 |
52,1 |
58,7 |
69,1 |
67,8 |
Обычным
методом наименьших квадратов определяем
коэффициенты преобразованного уравнения
регрессии
:
;
.
Свободный
член исходного уравнения теперь находим
из равенства
.
Окончательно
обобщенное уравнение линейной регрессии
принимает вид
.
Данное
уравнение статистически значимо на
уровне =0,05:
коэффициент детерминации имеет значение
;
;
.
Таким образом, при росте индекса рынка на 1 пункт цена акции возрастает в среднем на 0,257 дол.
Пример
5.3. В
таблице 5.7 приведены данные о заработной
плате
(доллары), возрасте
(годы), стаже работы по специальности
(годы), выработке
(единицы за смену) для 20 рабочих
предприятия.
1. Проверить наличие мультиколлинеарности между факторами.
2. Построить линейную регрессионную модель с полным набором факторов.
3. Определить факторы, ответственные за мультиколлинеарность.
4. Построить линейную регрессионную модель без факторов, ответственных за мультиколлинеарность.
5. Сравнить качество построенных моделей.
Таблица 5.7. Статистические данные примера 5.3
|
|
|
|
300 |
29 |
6 |
17 |
400 |
40 |
19 |
25 |
300 |
36 |
10 |
15 |
320 |
32 |
10 |
17 |
200 |
23 |
3 |
15 |
350 |
45 |
20 |
18 |
350 |
38 |
17 |
17 |
400 |
40 |
23 |
25 |
380 |
50 |
31 |
19 |
400 |
47 |
25 |
23 |
250 |
28 |
7 |
15 |
350 |
30 |
7 |
18 |
200 |
25 |
6 |
16 |
400 |
48 |
20 |
23 |
220 |
30 |
5 |
18 |
320 |
40 |
15 |
18 |
390 |
40 |
20 |
25 |
360 |
38 |
20 |
23 |
260 |
29 |
10 |
18 |
250 |
25 |
5 |
17 |