Решение:
1)
Вычислим
параметры
,
и
линейного уравнения
множественной
регрессии. Решая систему уравнений
(4.3), получим, что
,
,
.
Таким образом, получили уравнение
множественной регрессии
.
Коэффициенты
и
стандартизованного уравнения регрессии
находятся
по формулам (предварительно вычислим
,
,
):
Следовательно,
уравнение множественной линейной
регрессии в стандартизованном масштабе
имеет вид
.
Так
как стандартизованные коэффициенты
регрессии можно сравнивать между собой,
то можно сказать, что ввод в действие
новых основных фондов оказывает большее
влияние на выработку продукции, чем
удельный вес рабочих высокой квалификации.
Ранжировать
влияние факторов на переменную
можно также при помощи средних
коэффициентов эластичности. Они
рассчитываются по формуле
,
.
Так как
,
,
,
то
,
.
Следовательно,
увеличение основных фондов (от своего
среднего значения) на 1% увеличивает в
среднем выработку продукции на 0,61%.
Увеличение удельного веса рабочих
высокой квалификации (от своего среднего
значения) на 1% увеличивает в среднем
выработку продукции 0,20%. Таким образом,
и средние
коэффициенты эластичности
подтверждают большее влияние на результат
фактора
по сравнению с фактором
.
2) Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
,
,
.
Они
указывают на весьма сильную связь
каждого фактора с результативным
признаком
,
а также высокую межфакторную зависимость
(факторы
и
явно коллинеарны, т.к.
).
При такой сильной межфакторной зависимости
рекомендуется один из факторов исключить
из рассмотрения.
Этим
фактором должен быть фактор
,
так как: 1) стандартизованный
коэффициент для фактора
меньше, чем для
;
2) средний коэффициент эластичности для
фактора
меньше, чем для
;
3) коэффициент корреляции
меньше коэффициента
корреляции
.
Коэффициент
множественной корреляции
вычисляется
по формуле
Он
характеризует тесноту
совместного влияния факторов на
результат: совокупная связь факторов
с результативным признаком весьма
высокая. Значение коэффициент
множественной корреляции незначительно
отличается от коэффициента парной
корреляции
.
Общий
вывод состоит в том, что множественная
модель с факторами
и
содержит малоинформативный фактор
.
Если исключить фактор
,
то можно ограничиться уравнением парной
регрессии, которое имеет вид
.
3)
Для вычисления коэффициента детерминации
воспользуемся формулой
.
Величина
показывает, что изменения выработки
продукции на одного работника на
94,7% объясняются изменением факторных
признаков, включенных в модель.
Отметим,
что в случае парной линейной связи
коэффициент детерминации
равен 0,941. Таким образом, изменения
выработки
продукции на одного
работника на 94,1% объясняются изменением фактора .
Наблюдаемое
значение статистики Фишера
вычисляется по выборочным данным на
основании формулы
,
где
– число объясняющих переменных в модели,
а
– число наблюдений.
В нашем случае имеем
.
По
таблицам критических точек
-распределения
находится критическое значение статистики
при заданном уровне значимости
.
При этом число степеней свободы
определяется значениями
и
.
Так как
,
то уравнение множественной регрессии
признается статистически надежным.
4)
Гипотеза
о статистической значимости коэффициентов
линейной множественной регрессии
проверяется с помощью t-статистики,
имеющей распределение Стьюдента с
числом степеней свободы, равным
.
Наблюдаемые
значения t-статистики
для
коэффициентов регрессии
,
и
равны
3,9, 4,45 и 1,42 соответственно. Табличное
значение
-статистики
равно
2,1. Так как для коэффициентов регрессии
и
выполняется
неравенство
,
то признается, что коэффициенты
и
линейного уравнения регрессии не
случайно отличаются от нуля, а значит,
они статистически значимы. Так как для
коэффициента
выполняется неравенство
,
то
коэффициент регрессии
статистически
не значим. Это дает нам дополнительные
основания для того, чтобы
исключить фактор
из уравнения множественной регрессии
и перейти к уравнению парной линейной
регрессии с регрессором
.
Пример
4.5. На
основании статистических данных,
представленных в таблице 4.8, построена
линейная модель
,
устанавливающая зависимость сменной
добычи угля в шахтах на одного рабочего
(т) от мощности пласта
(м) и уровня механизации
(%).
По построенной модели осуществить точный прогноз добычи угля на одного рабочего в шахте, где мощность пласта составляет 8 м, а уровень механизации равен 6%. Вычислить доверительный интервал прогноза с доверительной вероятностью 0,95.
Таблица 4.8. Статистические данные задания 4.5
|
8 |
11 |
12 |
9 |
8 |
8 |
9 |
9 |
8 |
12 |
|
5 |
8 |
8 |
5 |
7 |
8 |
6 |
4 |
5 |
7 |
|
5 |
10 |
10 |
7 |
5 |
6 |
6 |
5 |
6 |
8 |
