3.7. Оценка тесноты нелинейной связи между переменными

Для оценки тесноты взаимосвязи результативного признака с фактором в случае нелинейной парной регрессии анализируются следующие дисперсии:

1) общая дисперсия результативного признака , отражающая влияние на как основного фактора , так и неучтенных случайных факторов: , где – выборочное среднее значение результативного признака по выборке ;

2) факторная дисперсия результативного признака , отражающая влияние на только основного фактора : , где , , – значения результативного признака , полученные по уравнению регрессии;

3) остаточная дисперсия результативного признака , отражающая влияние на неучтенных факторов и характеризующая меру разброса зависимой переменной возле линии регрессии: ,

где .

В соответствии с теоремой о разложении дисперсии справедливо равенство .

Отсюда следует, что чем меньше в формуле величина , тем меньше точки наблюдений рассеяны относительно линии регрессии, а значит, тем теснее взаимосвязь результативного признака и основного фактора .

Поэтому теснота взаимосвязи результативного признака с фактором в случае парной нелинейной регрессии оценивается с помощью индекса корреляции :

.

Величина данного показателя удовлетворяет соотношению . Чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков.

В случае линейной регрессии справедливо равенство . Отметим, что для нелинейной регрессии линейный коэффициент корреляции дает лишь приближенную оценку связи и в общем случае не совпадает с индексом корреляции .

Для относительной (в процентах) характеристики силы связи фактора с результативным признаком может быть использован коэффициент эластичности. При этом различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

Средний коэффициент эластичности на основании вида уравнения парной регрессии позволяет определить, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результирующий признак y при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения . В случае линейной парной регрессии .

В эконометрических исследованиях широкое применение получила степенная регрессия . Во многом это связано с тем, что коэффициент в ней имеет четкую экономическую интерпретацию – он совпадает с коэффициентом эластичности.

Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения и показывает, на сколько процентов изменится относительно уровня при изменении на 1% от уровня . Формула расчета имеет вид .

3.8. Верификация модели: проверка адекватности

Вопрос о возможности практического применения построенной эконометрической модели для прогнозирования экономического показателя может быть решен только после проверки ее общего качества или, иначе, ее адекватности. При этом оценивается степень подгонки теоретических значений к статистическим данным . Другими словами, проверяется, насколько широко рассеяны точки корреляционного поля относительно линии регрессии .

Для анализа общего качества уравнения линейной парной регрессии обычно используется коэффициент детерминации . В случае нелинейной регрессии используется индекс детерминации

.

Коэффициент и индекс детерминации определяют долю дисперсии результативного признака, обусловленную изменением факторного признака. Тем самым коэффициент и индекс детерминации дают относительную меру влияния фактора на результат, фиксируя одновременно и роль ошибок.

Так как , то величина в процентах показывает, какая часть изменения зависимой переменной y определяется объясняющей переменной x. Чем выше показатель детерминации, тем лучше модель описывает исходные данные. Соответственно величина характеризует долю дисперсии переменной , вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов.

При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные, конечно, модели имеют низкое практическое значение.

Индекс детерминации нелинейной модели можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной формы. Чем больше кривизна линии регрессии, тем меньше величина по сравнению . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную модель.

Общее качество модели может быть оценено с помощью стандартной ошибки регрессии , которая является несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения наблюдаемых значений результативного признака от теоретических значений, рассчитанных по модели. Величина стандартной ошибки регрессии характеризует среднюю величину рассеивания наблюдаемых значений переменной возле линии регрессии.

Для оценки адекватности уравнения регрессии также используется показатель средней ошибки аппроксимации:

– среднее отклонение расчетных значений от наблюдаемых. Ошибка аппроксимации не более 8–12 % свидетельствует о хорошем качестве модели.