Примеры решения типовых заданий

Пример 5.1. По статистическим данным таблицы 5.1 для двенадцати транспортных компаний исследуется зависимость годового дохода (переменная , млн. руб.) от среднегодового количества грузовых автомобилей (переменная ).

1. Построить парную линейную модель зависимости от .

2. Проверить наличие в модели гетероскедастичности с помощью графического анализа и методом Голдфелда–Квандта.

3. При обнаружении гетероскедастичности построить взвешенную модель регрессии.

Таблица 5.1. Статистические данные примера 5.1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	15	18	22	25	27	31	34	37	40	45	48	48
	235	250	247	260	287	262	307	280	357	410	389	311

Решение:

1. По исходным данным строим линейную модель парной регрессии. Параметры ее оцениваем обычным методом наименьших квадратов. Коэффициенты уравнения регрессии определяем с помощью табличного процессора MS Excel: ; . Таким образом, уравнение регрессии имеет вид .

Уравнение регрессии статистически значимо на уровне =0,05: наблюдаемое значение F‑статистики равно 25,15; критическое значение F-критерия Фишера – 4,96; коэффициент детерминации равен 0,716.

Значение коэффициента уравнения регрессии показывает, что увеличение количества автомобилей на одну единицу приводит к росту годового дохода в среднем на 4,277 млн. руб.

Визуальный анализ графика зависимости годового дохода от количества автомобилей дает основание предполагать наличие в модели гетероскедастичности. Из рисунка 5.5 видно, что отклонение от линии регрессии наблюдений, соответствующих крупным предприятиям, больше, чем для малых предприятий.

Рис. 5.5. График разброса точек наблюдений

относительно линии регрессии

2. Строим график остатков и проводим его визуальный анализ. В таблице 5.2 приведены наблюдаемые и теоретические значения переменной , а также значения остатков .

Таблица 5.2. Наблюдаемые и теоретические значения переменной

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	15	18	22	25	27	31	34	37	40	45	48	48
	235	250	247	260	287	262	307	280	357	410	389	311
	225	238	255	268	276	293	306	319	332	353	366	366
	10	12	-8	-8	11	-31	1	-39	25	57	23	-55

График остатков представлен на рисунке 5.6.

Рис. 5.6. График остатков

Графический анализ остатков показывает, что их разброс растет по мере увеличения фактора , что может свидетельствовать о наличии гетероскедастичности. Проверим это предположение методом Голдфелда-Квандта. Будет считать, что остатки распределены по нормальному закону и их среднее квадратическое отклонение пропорционально значению фактора . Все остатки уже упорядочены по . Выбираем первых и последних остатков. Так как число наблюдений невелико, то оценим суммы квадратов остатков для крайних групп наблюдений по общей модели:

;

.

Так как , то наблюдаемое значение F-статистики рассчитываем по формуле .

Критическое значение F-критерия Фишера для уровня значимости =0,05 и степеней свободы (где – число факторов в модели) составляет 19.

Так как , то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков отклоняется на уровне значимости =0,05. Факт наличия гетероскедастичности в модели считается установленным.

3. Применим взвешенный МНК к исходной модели в предположении, что среднее квадратическое отклонение остатков пропорционально значению фактора . Для этого масштабируем исходные данные по . Результаты масштабирования сведем в таблицу 5.3.

Таблица 5.3. Результаты масштабирования

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	0,0667	0,0556	0,0455	0,04	0,037	0,0323	0,0294	0,0270	0,0250	0,0222	0,0208	0,0208
	15,67	13,89	11,23	10,4	10,63	8,45	9,03	7,57	8,93	9,11	8,10	6,48

Исходную модель преобразуем в модель . Оцениваем параметры преобразованной модели и обычным методом наименьших квадратов. С помощь MS Excel определяем коэффициенты уравнения регрессии , где , : ; . После этого уравнение принимает вид . Общее качество уравнения высокое: . Уравнение регрессии статистически значимо на уровне =0,05: наблюдаемое значение F‑статистики равно 106 при критическом значении F-критерия Фишера 4,96.

Тест Голдфельда–Квандта, примененный к преобразованной модели , уже не выявляет гетероскедастичности ее остатков.

Используя преобразованное уравнение регрессии, делаем вывод, что увеличение количества автомобилей на одну единицу приводит к росту годового дохода в среднем на 3,863 млн. руб.

Пример 5.2. По статистическим данным за 12 месяцев, приведенным в таблице 5.4, исследуется зависимость цены акции предприятия (переменная , дол.) от индекса фондового рынка (переменная , пунктов).

1. Построить линейную парную регрессионную модель зависимости от фактора .

2. Проверить наличие автокорреляции остатков модели с помощью графического анализа и методом Дарбина-Уотсона.

3. При обнаружении автокорреляции построить обобщенную модель регрессии.

Таблица 5.4. Статистические данные примера 5.2

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	244	222	201	186	215	248	256	255	217	224	263	292
	152	154	149	136	139	148	152	156	152	156	169	176