6.5. Моделирование сезонных и циклических колебаний

Сезонность часто наблюдается во временных рядах, полученных на основе месячных или квартальных (иногда недельных или дневных) данных. Например, явно выраженную сезонность имеют объемы продаж мороженого и количество постояльцев курортного отеля, что связано с погодными условиями. Сезонные колебания присутствуют во многих экономических рядах. Потребление электроэнергии, газа, продажа определенных видов товаров, деловая активность предприятий – все эти ряды в той или иной степени подвержены эффекту сезонности.

Анализ сезонных колебаний облегчается тем обстоятельством, что после анализа автокорреляционной функции становится известным число сезонов в одном периоде колебаний. Кроме того, сезонные колебания, как правило, выражены на графике временного ряда так ярко, что нет необходимости доказывать их существование.

Моделирование циклической компоненты в целом аналогично моделированию сезонных колебаний, поэтому рассмотрим лишь моделирование последних.

Наиболее простой подход моделирования сезонной компоненты связан с расчетом ее значений. Он начинается с выбора формы модели (аддитивной или мультипликативной) на основе анализа графика временного ряда. Если амплитуда сезонных колебаний приблизительно постоянна, то выбирается аддитивная форма. В противном случае строят мультипликативную модель.

В качестве сезонной компоненты для аддитивной модели применяют абсолютное отклонение , а для мультипликативной модели – индекс сезонности .

Пусть – значение исходного временного ряда для -ого сезона в -ом периоде колебаний ( изменяется от 1 до , где – число сезонов в одном периоде; изменяется от 1 до , где – число периодов во временном ряду; если временной ряд содержит целое число периодов и число уровней исходного ряда равно , то ).

Перед расчетом сезонных компонент производится аналитическое выравнивание временного ряда (можно использовать также механическое выравнивание, например, методом скользящей средней).

Если – теоретические значения оцененного тренда временного ряда, то

абсолютное отклонение в -ом сезоне определяются как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней ряда:

.

Индекс сезонности в -ом сезоне определяются как среднее арифметическое из отношений фактического уровня ряда к выровненному:

.

При необходимости полученные значения сезонной компоненты корректируются ( в случае аддитивной модели и в случае мультипликативной модели), чтобы суммарное воздействие сезонности на динамику было нейтральным: для аддитивной модели сумма сезонных компонент равна нулю, для мультипликативной модели – числу сезонов в одном периоде, т.е. .

Для моделирования сезонных колебаний могут быть использованы фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных должно быть на единицу меньше числа сезонов внутри периода колебаний, т.е. . Например, при моделировании поквартальных данных модель должна содержать наряду с фактором времени три фиктивные переменные.

Каждому сезону соответствует определенное сочетание значений фиктивных переменных. Тот сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, принимается за эталон сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных должна принимать значение, равное единице. В частности, при моделировании поквартальных данных значения фиктивных переменных задаются таблицей 6.2.

Таблица 6.2. Значения фиктивных переменных в случае описания поквартальной сезонности

Квартал
1	0	0	0
2	1	0	0
3	0	1	0
4	0	0	1

Общий вид модели в таком случае будет следующим:

.

Эта модель, по сути, и является аналогом аддитивной модели временного ряда, так как фактический уровень временного ряда является суммой тренда , сезонной компоненты и случайной компоненты .

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь вид:

(первый квартал);

(второй квартал);

(третий квартал);

(четвертый квартал).

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических эффектов – наличие большого количества переменных, что требует, соответственно, большого объема выборочных данных (не менее 7 на каждую переменную).