5.6. Проверка предположения о нормальности распределения

Одно из требований классической регрессионной модели заключается в нормальности распределения случайной величины . Выполнимость или невыполнимость его не оказывает влияния на качество оценок параметров регрессии, но является достаточно важным. Оно позволяет использовать стандартные процедуры проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Проверка на нормальность распределения без существенных вычислительных затрат может быть проведена с помощью стандартного теста, опирающегося на критерий Пирсона.

Второй способ тестирования имеет визуальный характер. Он ориентируется на характерные особенности графика плотности нормально распределенных случайных величин. Для этого строится гистограмма остатков и соединяются середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Если ломаная линия приближенно напоминает кривую плотности нормального распределения, то можно сделать грубый вывод о том, что остатки распределены по нормальному закону.

Применение визуального метода рекомендуется в случаях, когда число наблюдений сравнительно невелико (от 10 до 25) и невозможно применить критерий Пирсона хи-квадрат, где предполагается, что .

Достаточно простым методом диагностики нормальности распределения остатков является тест Жарка-Бера. Идея метода состоит в том, что для совокупности остатков оценивается «скошенность» (асимметрия) и «вытянутость» (эксцесс) фактического распределения ряда остатков и сравнивается с нормальным. При этом за оценку «скошенности» распределения отвечает коэффициент асимметрии , а за оценку «вытянутость» распределения – коэффициент эксцесса .

Алгоритм теста Жарка-Бера следующий.

1) Выдвигается гипотеза о нормальном распределении остатков выборки.

2) Вычисляется наблюдаемое значение критерия по формуле

.

3) По таблице критических точек распределения Пирсона (число степеней свободы 2) определяется критическое значение (на уровне значимости 0,05 оно равно 5,991).

4) Если , то гипотеза о нормальном распределении остатков отклоняется, т.е. распределение остатков не является нормальным. Если , то гипотеза о нормальном распределении остатков принимается.

Нахождение коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса можно осуществить с помощью вкладки «Описательная статистика» пакета «Анализ данных» Excel.

5.7. Обзор некоторых вопросов и проблем модельного анализа

С практической точки зрения рекомендуется следующая последовательность проверки модельных предположений.

1. Проверяется предположение о равенстве нулю математического ожидания случайной переменной, что гарантирует получение несмещенных оценок коэффициентов регрессии и прогноза.

2. Проверяется предположение о нормальности распределения остатков, что позволяет оценивать значимость модели, проверять статистические гипотезы и строить доверительные интервалы коэффициентов регрессии и

прогноза.

3. Предположение об отсутствии автокорреляции напрямую связано со всеми формулами, которые позволяют вычислять оценки параметров регрессии. Поэтому третьим шагом с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверяется наличие в модели автокорреляции.

4. С помощью теста Голдфелда-Квандта или теста Спирмена проверяется однородность результатов наблюдений с целью обеспечения эффективных оценок регрессии.

Обычно в предпосылках регрессионного анализа считается, что факторы являются неслучайными величинами и что они не коррелируют со случайной переменной. При наличии такой корреляции МНК-оценки могут быть смещенными и несостоятельными. Для получения состоятельных оценок можно воспользоваться методом инструментальных переменных, описанным в [15].

Тесты Спирмена и Голдфелда-Квандта не дают количественной оценки зависимости дисперсии ошибок регрессии от соответствующих значений факторов, включенных в регрессию. Они позволяют лишь определить наличие или отсутствие гетероскедастичности. Поэтому если гетероскедастичность остатков установлена, можно количественно оценить зависимость дисперсии ошибок регрессии от значений факторов. С этой целью могут быть использованы тесты Уайта, Парка, Глейзера и другие (см., например, [2,3]).

Одним из возможных методов диагностики автокорреляции является метод рядов. Он связан с анализом знаков остатков регрессии , . Описание метода можно найти в [3].