Решение:
1. С помощью табличного процессора MS Excel построим матрицу межфакторной корреляции:
.
Вычислим
определитель этой матрицы:
.
Близость к нулю
определителя матрицы межфакторной
корреляции указывает на наличие сильной
мультиколлинеарности факторов.
Статистическую
значимость мультиколлинеарности
определим проверкой нулевой гипотезы
.
Для проверки нулевой гипотезы используем
распределение Пирсона
с
степенями свободы. Наблюдаемое значение
статистики находится по формуле
,
где
– число наблюдений,
–
число факторов. Для заданного уровня
значимости
по таблице критических точек распределения
Пирсона определяется критическое
значение
.
Так как
,
то гипотеза
отклоняется и считается, что присутствует
мультиколлинеарность факторов.
Построим матрицу парных коэффициентов корреляции:
.
Из
матрицы видно, что между факторами
(возраст)
и
(стаж по специальности) имеет место
сильная линейная зависимость
.
Это также указывает на наличие
мультиколлинеарности факторов.
2.
С помощью табличного процессора MS
Excel
строим линейную регрессионную модель
зависимости заработной платы от всех
трех факторов. Она имеет вид
.
Проверка значимости коэффициентов
регрессии при факторах в уравнении
показывает, что статистически значимыми
будут коэффициенты регрессии только
при
и
.
Поэтому полученное уравнение регрессии
неприемлемо.
3. Из модели следует исключить фактор , так как он теснее связан с третьим фактором нежели фактор (это следует из анализа матрицы парных коэффициентов корреляции). Кроме того, фактор теснее связан с переменной . Отдавая предпочтение фактору , мы учитываем также, что в построенной трехфакторной модели коэффициент при не является статистически значимым.
4.
Построим теперь уравнение линейной
регрессии, исключив фактор
.
Это уравнение имеет вид
.
5.
В уравнении
коэффициенты регрессии при переменных
и
значимы. Так как
,
то общее качество уравнения регрессии
высокое. Новое уравнение значимо в
целом, что подтверждается критерием
Фишера.
Реализация с помощью ппп Excel
Расчет и анализ показателей множественной регрессии, а также проверка необходимых статистических гипотез могут быть осуществлены с помощью «Пакета анализа» табличного процессора Excel.
Методику применения ППП Excel проиллюстрируем на примере следующей задачи (при этом будем опираться на статистические данные, находящиеся в таблице 5.9, и исходить из того, что объем выборки равен 20).
Задача.
Для
объяснения заработной платы
в зависимости от возраста
и стажа по данной специальности
построить и исследовать линейную
регрессионную модель
.
Применить построенную регрессионную
модель для прогноза заработной платы
при
.
Требуется:
1) ввести данные;
2) провести регрессионный анализ;
3) провести анализ общего качества уравнения регрессии;
4) указать стандартную ошибку регрессии;
5) указать стандартные ошибки коэффициентов регрессии;
6) проанализировать статистическую значимость коэффициентов при уровне значимости α = 0,05, при необходимости получить новое уравнение регрессии со значимыми коэффициентами;
7) найти точечные и интервальные оценки для коэффициентов регрессии;
8) дать точечный прогноз заработной платы по заданным значениям возраста и стажа;
9) рассчитать коэффициенты эластичности и сделать вывод о влиянии факторов на заработную плату.
Выяснить, выполняются ли условия теоремы Гаусса-Маркова для случайного члена:
1) проверить предположение о равенстве нулю математического ожидания случайного члена;
2) проверить предположение о наличии в модели гомоскедастичности остатков с помощью теста ранговой корреляции Спирмена, при необходимости построить взвешенную модель регрессии;
3) проверить предположение об отсутствии в модели автокорреляции остатков с помощью -статистики Дарбина-Уотсона, при необходимости построить обобщенную модель регрессии;
4) проверить гипотезу о нормальном распределении остатков;
5) сделать вывод о присутствии или отсутствии мультиколлинеарности факторов, при необходимости исключить один из факторов и построить парную линейную модель.
Результаты вычислений и анализа оформить в виде отчета (форма отчета прилагается ниже).