3. Использование средних величин в анализе хозяйственной деятельности

Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили средние величины. Использование средних величин – это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней величины определяет ее особую значимость в экономическом анализе, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления [4, с. 87].

Средняя величина – обобщающая характеристика, отражающая уровень признака, приходящийся на единицу изучаемой совокупности.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Средняя отражает общее свойство всей совокупности. Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности. Средняя абстрагируется от разнообразия признака у отдельных объектов. Но то, что средняя является абстракцией, не лишает ее научного исследования. Абстракция есть необходимая ступень всякого научного исследования. В средней величине, как и во всякой абстракции, осуществляется диалектическое единство отдельного и общего. Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного. Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Отклонение индивидуального от общего – проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретные факты, взятые на фоне средних величин, характеризуют процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин [4, с. 88]. Средний показатель – это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является потому, что формируется в нормальных, естественных, общих условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

В практике экономического анализа возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние: степенные или структурные (описательные, параметрические). Средние величины имеют определенную сферу применения.

Степенные средние

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

, (2.1)

где – осредняемый признак (признак, по которому находится средняя);

_i – индивидуальное значение признака;

n – число единиц совокупности;

m – показатель степени.

При m = 1 определяется средняя арифметическая, при m = 2 вычисляется средняя квадратическая, при m = 0 – средняя геометрическая; при m = –1 – средняя гармоническая. Чем выше показатель степени m, тем больше значение средней величины.

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применима правильно, когда получают величины, имеющие реальный экономический смысл.

Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средней. Она исчисляется в тех случаях, когда общий объем признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой совокупности. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности, проще говоря, вычисляется среднее слагаемое.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется по формуле простой или взвешенной средней величины. Простая средняя арифметическая рассчитывается в том случае, если отсутствует разбиение общей совокупности на отдельные группы, т. е. отсутствует повторяемость одного и того же значения признака в ряду распределения и, соответственно, отсутствуют частоты. Частота – это повторяемость индивидуальных значений признака (число единиц совокупности в отдельной группе), обозначается буквой f. В ином случае используют формулу взвешенной величины.

Простая средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

. (2.2)

Взвешенная средняя арифметическая определяется по формуле:

. (2.3)

Для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого значения признака на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

Частоты отдельных значений признака могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями (w). Заменив абсолютные значения частот соответствующими относительными величинами, получим тот же результат.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующую у каждого из них. Часто вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от–до). Для вычисления средней величины необходимо в каждом варианте определить серединное значение х', после чего произвести взвешивание обычным порядком x'f. В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ. Иногда задача исчисления средней по величинам интервального ряда осложняется тем, что неизвестны крайние границы начального и конечного интервалов. В этом случае предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в соседнем интервале. Этот прием основан на предположении, что отдельные конкретные варианты равномерно распределены внутри интервала. Однако в действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным, и тогда середина интервала будет в той или иной степени отличаться от принятой средней. Это может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. Необходимо отметить, что, хотя мы и используем для расчета средней из интервального ряда формулу средней арифметической взвешенной, исчисленная средняя не является точной величиной, так как в результате умножения средних значений групп на их численность мы не получим действительного значения. Сходство исчисленной средней со средней взвешенной лишь в исчислении. Здесь взяты не индивидуальные значения вариант, а условные средние каждой группы. Их взвешивание имеет чисто формальный характер. Степень расхождения зависит от ряда причин: первой является число вариант. Чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Если же на каждую группу приходится малое число единиц, групповые средние могут находиться не только в середине, но и вблизи верхней либо нижней границы интервала. Если же наблюдений много и они более или менее равномерно распределяются в пределах интервала, то средняя величина в группе будет приближаться к середине интервала. Второй причиной является величина интервала. Если интервал невелик, то и ошибка будет незначительной, так как фактически групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. Третьей причиной является характер распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. Размер ошибки зависит и от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина построения его будет ближе примыкать к средней по данной группе. Кроме того, при наличии открытых интервалов к этому добавляются неточности, связанные с условным установлением неизвестных границ. Поэтому очень важно, чтобы средняя отобразила всю совокупность наблюдений, к которой относится эта средняя [4, с. 92].

Свойства средней арифметической величины. Знание некоторых математических свойств средней арифметической полезно как при ее использовании, так и при ее расчете.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю. Для взвешенной средней сумма взвешенных отклонений равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз. Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число. Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьируемых значений признака.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится. Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

Что касается области применения средней арифметической величины, то наибольшее применение она получила при расчете средних величин из количественных показателей.

Разновидностью средней арифметической величины является средняя хронологическая. Данный вид средней определяется в том случае, если значение признака отражает развитие явления по состоянию на дату (а не за период).

Средняя арифметическая величина называется агрегатной средней, если рассчитывается как отношение общего объема явления ( ) к сумме частот.

Объемом явления ( ) называется произведение индивидуального значения признака на частоту (x_i ∙ f_i ).

Средняя гармоническая. Простая средняя гармоническая величина определяется по формуле:

. (2.4)

Если осредняемый признак является качественным показателем (например, цена, себестоимость), статистическая информация отражает объемы явления, но не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, применяется формула средней гармонической взвешенной:

. (2.5)

Например, при наличии данных о ценах и выручке от реализации, среднюю цену необходимо вычислять именно по формуле средней гармонической величины, поскольку выручка от реализации и есть объем явления, рассчитываемый как произведение индивидуального значения осредняемого признака (цены) на частоту (объем реализации в натуральном исчислении).

Но подсчитать среднюю цену можно было и по-другому: найти объем реализации в натуральном исчислении (то есть частоту), как отношение выручки от реализации к цене, а затем воспользоваться формулой средней арифметической.

Как видно, средняя гармоническая является модифицированной формой арифметической средней. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить частоты отдельных значений признака.

В том случае, если объемы явлений по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая (формула 2.4), в ином случае – взвешенная (формула 2.5).

Средней геометрической удобно пользоваться, когда уделяется внимание отношениям двух чисел. Средняя геометрическая – величина, используемая в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах средних темпов роста. Средняя геометрическая определяется по формуле:

. (2.6)

Данный вид средней используется, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин. Пусть, например, объем производства за первый год возрос в 1,5 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 2 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года он вырос в 3 раза. Каков средний темп роста объема производства за год? Арифметическая средняя здесь непригодна: если за год объемы возросли бы в 1,75 раза, то за два года они возросли бы в 1,75x1,75 = 3,0625 раза, а не в 3 раза. Геометрическая средняя дает правильный ответ: 1,732 раза. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Средняя квадратическая величина определяется по формуле:

(2.7)

или

. (2.8)

Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации признака в совокупности. Заметим, что используется средняя квадратическая там, где по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму квадратов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину. Например [5], имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: x₁ = 100 м; х₂, = 200 м; х₃ = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300) : 3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3 ∙ 200² = 120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: 100² + 200² + 300² = 140000 м².

Правильный ответ дает квадратическая средняя:

(м).

Лекция 4

План занятия