6. Показатели вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина, как уже отмечалось, – это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Термин «вариация» произошел от латинского variation – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие случайную и систематическую количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают случайную и систематическую вариацию признака. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц Xi к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей [4, с. 102]. Вариация признака бывает количественной и качественной (альтернативной). Рассмотрим показатели измерения количественной вариации.

Абсолютным показателем вариации является размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (х _мах) и наименьшим (x_mln) значениями признака:

. (2.11)

Данный показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Однако легкость вычислений и простота истолкования обусловили широкое применение данного показателя.

Средние показатели вариации. Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

(2.12)

или

. (2.13)

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (δ² – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:

(2.14)

или

. (2.15)

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение:

. (2.16)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака. Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчеты:

1. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится.

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А² раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз.

3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической. При этом больше на вполне определенную величину – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т. е. на ( –А)². Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т. е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда А приравниваем к 0 и, следовательно, не вычисляем отклонения, формула расчета дисперсии принимает вид:

. (2.17)

Таким образом, средний квадрат отклонений δ² равен среднему квадрату значения признака минус квадрат среднего значения признака. Изложенный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов, или способом отсчета от условного нуля. Он применим при условии равных интервалов.

Средняя величина отражает тенденцию развития, т. е. действие главных причин (факторов), а среднеквадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

, %. (2.18)

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

, %. (2.19)

3. Коэффициент вариации:

, %. (2.20)

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех значений признака в совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если коэффициент вариации больше 40 %, это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности (для распределений, близких к нормальному).

Следует отметить, что, изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних, около общей средней. Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки. При этом общая дисперсия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий. Подробно данный вопрос изложен в [4; 6].

Дисперсия альтернативного (качественного) признака. Наряду с показателями вариации количественного признака приходится определять и вариацию альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. Например, работники индустрии гостеприимства подразделяются на мужчин и женщин, имеющих специальное образование и не имеющих специального образования, имеющих высшее образование и не имеющих и т. д. При статистическом выражении колеблемости альтернативных признаков наличие изучаемого признака обозначается 1, а его отсутствие – 0. Доля вариантов, обладающих изучаемым признаком, обозначается р, а доля вариантов, не обладающих признаком, обозначается q. Следовательно, q + p =1.

Среднее значение альтернативного признака определяется по формуле:

. (2.21)

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

. (2.22)

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им. Естественно, что p + q не может быть больше 1, а pq не может быть больше 0,25 (поскольку q=1 – p).