2.5. Структурные средние

Структурные средние характеризует значение признака у

статистической единицы, занимающей определенное положение в

ранжированной совокупности.Таким образом,структурные средние, в

отличии от степенных представляют собой конкретные значения изучаемого

признакав наблюдаемой совокупности.Чаще всего такие совокупности

представляются в виде вариационных рядов распределения. В класс

структурных средних входят две характеристики: мода и медиана.

Модой ( Mo ) называетсянаиболее часто встречаемое значение

признак в совокупности.Модальным значениемизучаемого

признакаобладает наибольшее число единиц статистической

совокупности.Мода широко используется в статистической практике при

изучении покупательского спроса, регистрации цен и др.

Медиана ( Me ) - это значение признакау статистической единицы,

стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две

равные по численности части.В неоднородных совокупностях медиана

выполняет функцию среднейвеличины, так как сама средняя не является

надежной и не отражает наиболеетипичное состояние изучаемого явления.

Если изучаемый признак принимает только дискретные значения,

тодля выбора структурных средних предварительно небходимо

представить статистическую совокупность в виде дискретного ряда

распределения – систематизированной последовательности единиц,

совокупности, сгруппированных по изучаемому дискретному признаку.

Такие ряды состоят из однородых групп статистических единиц с

одинаковым значением признакаВ этом случае Mo и Me выбираются в

соответствии с определениями: мода - как значение признака с наибольшей

частотой ni (количеством статистическких едениц в однородной группе);

положение медианы при нечетном объеме совокупности определяется ее

N 1

номером nMe , где N – объем статистической совокупности. При

2

четном объеме ряда медиана равна средней из двух вариант, находящихся в

середине ряда.

Медиану используют как наиболее надежный показатель типичного

значения неоднородной совокупности, так как она нечувствительна к

крайним значениям признака, которые могут значительно отличаться от

основного массива его значений. Кроме этого, медиана находит практическое

применение вследствие особого математического свойства: сумма

32

абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем сумма

отклонений от любой другой величины.

xi Me min .

Рассмотрим определение моды и медианы на следующем примере:

имеется ряд распределения рабочих участка по уровню квалификации.

Данные приведены в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Распределения рабочих участка по уровню квалификации

№ Разряд Число Накопленная

группы рабочих рабочих частота

1 1 3 3

2 2 5 8

3 3 9 17

4 4 14 31

5 5 10 41

6 6 9 50

Всего - 50 -

Мода выбирается по максимальному значению частоты: при nmax 14 Mo

=4, т.е. чаще всего встречается 4-ый разряд. Для нахождения медианы

определяются номера центральных единиц. Это 25 и 26-ая единицы. По

накопленным частотам определяется группа, в которую попадают эти

единицы. Ею является 4-ая группа, в которой значение признака равно 4.

Таким образом, Me = 4, это означает, что у половины рабочих разряд ниже 4-

го, а у другой – выше четвертого.

Если в статистической совокупности признак изменяется

непрерывно, то для отображения такой совокупности строится

интервальный ряд распределения, в котором в каждую однородную группу

включаются статистические единицы со значениями признака,

соответствующими определенному инртервалу.В таком ряду значения Mo и

Me вычисляются боле сложным путем.

Мода определяется следующим образом:

По максимальному значению частоты определяется интервал, в

котором находится значение моды. Он называется модальным.

Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:

н nMo nMo 1

Mo xMo aMo ,

(nMo nMo 1 ) (nMo nMo 1 )

где xMo - нижняя граница модального интервала,

н

aMo - ширина модального интервала,

nMo , nMo 1 , nMo 1 - соответственно частоты модального, предмодального

(предшествующего модальному) и постмодального (следующего за

модальным) интервалов.

33

Для расчета медианы в интервальных рядах используется

следующий подход:

По накопленным частотам находится медианный интервал.

Медианным называется интервал, содержащий центральную единицу.

Накопленная частота – это количество статистических единиц, у которых

значение признака не превышает данного.

Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:

N

NMe 1

Me x н

aMe 2 ,

Me

nMe

где xMe - нижняя граница медианного интервала,

н

aMe -ширина медианного интервала,

N – объем статистической совокупности,

NMe 1 - накопленная частота предмедианного интервала,

nMe - частота медианного интервала.

В неравноинтервальных рядах при вычислении Mo используется

другая частотная характеристика – абсолютная плотность распределения:

н Mo Mo 1

Mo xMo aMo ,

( Mo Mo 1 ) ( Mo Mo 1 )

где Mo - абсолютная плотность распределения модального интервала,

Mo 1 - абсолютная плотность распределения предмодального интервала,

Mo 1 - абсолютная плотность распределения послемодального интервала.

Абсолютная плотность распределения рассчитывается как отношение

соответствующей частоты к ширине интервала.

Расчет моды и медианы для интервального ряда распределения

рассмотрим на примере ряда распределения рабочих по стажу,

приведенного в таблице 2.5

Таблица 2.5

Распределение рабочих участка по стажу

№ группы Границы Ширина Число Накопленное

интервала по интервал рабочих число

стажу, лет а ai в группе рабочих,

xiн xiв ni Ni

1 0 4 4 6 6

2 4 8 4 8 14

3 8 12 4 11 25

4 12 16 4 13 28

5 16 20 4 6 44

6 20 24 4 4 48

7 24 28 4 2 50

Всего 0 28 28 50 -

34

Расчет Mo :

Максимальная частота nmax 13 , она соответствует четвертой группе,

следовательно, модальным является интервал с границами 12 – 16 лет.

nMo nMo 1

Моду рассчитаем по формуле: Mo xMo aMo

н

=

(nMo nMo 1 ) (nMo nMo 1 )

13 11 2

12 4 12 4 12 4 0,22 13 лет.

(13 11) (13 6) 2 7

Вывод: чаще всего встречаются рабочие со стажем работы около 13

лет.

Расчет медианы:

По графе накопленных частот определяется медианный интервал. Он

содержит 25 и 26-ую статистические единицы. Центральные единицы

находятся в разных группах: 25-ая – в 3-ей группе, 26-ая - в 4-ой. Для

нахождения Me можно использовать любую из них.

Расчет медианы проведем по 3-ей группе:

50

14 25 14

Me 8 4 2 8 4 12 лет.

11 11

Такое же значение Me можно получить при её расчете по 4-ой группе:

50

25 25 14

Me 12 4 2 8 4 12 лет.

13 11

При сдвоенном центре, когда центральнае единицы попадают в

разные интервалы Me всегда находится на стыке этих интервалов.

Вычисленное значение Me показывает, что у первых 25 рабочих

стаж работы - менее 12 лет, а у оставшихся 25-ти, следовательно, - более 12

лет.

Моду и медиану можно определить графически по специальным

графикам: Моду–по графикам распределения частот( полигону

распределения для дискретных рядов, по гистограмме распределения –для

интервальны)х, а медиану - по графику накопленных частот(кумуляте).

Кроме Mo и Me в вариационных рядах для более полной их

характеристики могут быть определены и другие структурные показатели –

квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры

ряда распределения. Квантилем называется значение признака, занимающее

определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Различают следующие виды квантилей:

квартили ( Q1/ 4 , Q2 / 4 Me, Q3 / 4 ) – значения признака, делящие

упорядоченную совокупность на 4 равные части;

децили ( d1 , d 2 ....d9 ) – значения признака, делящие совокупность на 10

равных частей;

перцентили - значения признака, делящие совокупность на 100

равных частей.

35

Квартилей можно рассчитать 3, децилей -9, а перцентилей – 99.

Если данные сгруппированы, то значение квантиля определяется по

накопленным частотам: номер группы, которая содержит i -ый

квантиль,определяется как номер первой группы от начала ряда, в котором

сумма накопленных частот равна или превышает i ∙N, где I – индекс

квантиля.

Если ряд интервальный, то значение квантиля определяется по

формуле:

н

i N NQi 1

Qi xQi aQi ,

nQi

где xQ - нижняя граница интервала, в котором находится

н

i

i -ый

квантиль;

NQ 1 - сумма накопленных частот

i

интервалов, предшествующих

интервалу, в котором находится -ый квантиль;

nQ - частота интервала, в котором находится - ый квантиль.

i

Рассчитаем квартили для ряда распределения рабочих участка по

стажу работы:

нижний квартиль Q1/ 4 – соответствует 13-ой единице, верхний

квартиль Q3 / 4 – 38-ой. Это соответственно 2-ая и 4-ая группы.

1* 50

6

Q1/ 4 4 4 4 4 4 0,8 7,2 лет;

8

3 50

25

Q3 / 4 12 4 4 12 4 16 лет.

13

Следовательно, у четверти рабочих стаж менее 7 лет и у четверти –

более 16 лет.