8.1. Понятие статистической и корреляционной связи

Одной из важнейших задач статистики является изучение объективно

существующих связей между явлениями. При исследовании таких связей

выясняются причинно-следственные отношения между явлениями, а это, в

свою очередь, позволяет выявить факторы, оказывающие основное влияние

на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные

отношения представляют собой такую связь явлений, при которой

изменение одного из них – причины, ведёт к изменению другого – следствия.

Причинно-следственная форма связи определяет все другие формы, носит

всеобщий и многообразный характер.

Для описания причинно-следственной связи между явлениями и

процессами используется деление статистических признаков,

отражающих отдельные стороны взаимосвязанных явлений, на факторные и

результативные.Факторными считаются признаки, обуславливающие

изменение других, связанных с ними признаков, являющихся причинами и

условиями таких изменений. Результативными являются признаки,

изменяющимися под воздействием факторных.

Формы проявления существующих взаимосвязей весьма разнообразны.

В качестве самых общих их видов выделяют функциональную и

статистическую связи.

Функциональнойназывают связь, при которой определённому

значению факторного признака соответствует одно и только одно

значение результативного. Такая связь возможна при условии, что на

поведение одного признака (результативного) влияет только факторный

признак.

Функциональные связи являются абстракциями, в реальной жизни они

встречаются редко, но находят широкое применение в точных науках и в

114

первую очередь, в математике; например, функциональной считается

зависимость площади круга от радиуса - S= r 2

Функциональная связь проявляется во всех случаях наблюдения и для

каждой конкретной единицы изучаемой совокупности.

В массовых явлениях проявляются статистические связи, при

которых строго определённому значению факторного признака

ставится в соответствие множество значений результативного. Такие

связи имеют место, если на результативный признак действуют несколько

факторных, а для описания связи используется один или несколько

определяющих (учтённых) факторов.

Строгое различие между функциональной и статистической связью

можно получить при их математической формулировке.

Функциональную связь можно представить уравнением: yi f ( xi ) ,

где yi результативный признак (i=1,…n);

f ( xi ) - функция связи результативного и факторного признаков;

xi - факторный признак.

Статистическая связь может быть представлена уравнением

следующего вида:

~ f (x )

yi i i,

где ~2 - расчётное значение результативного признака;

y

f ( xi ) - часть значения результативного признака, сформировавшаяся под

воздействием учтённых факторов;

i - часть значения результативного признака, возникающая вследствие

действия неконтролируемых факторов или ошибок измерения.

Примером статистической связи может служить зависимость

себестоимости единицы продукции от уровня производительности труда: чем

выше производительность труда, тем ниже себестоимость. Но на

себестоимость единицы продукции помимо производительности труда

влияют и другие факторы: стоимость сырья, материалов, топлива,

общепроизводственные и общехозяйственные расходы и т.д. Поэтому нельзя

утверждать, что повышение производительности труда на 5% приведет к

аналогичному снижению себестоимости. Может наблюдаться и обратная

картина, если на себестоимость будут влиять в бóльшей степени другие

факторы, - например, резко возрастут цены на сырье и материалы.

Любую статистическую связь можно представить в виде набора

локальных распределений результативного признака при фиксированных

значениях факторного:

x1 : y1,1, y1,2 ...y1, j ...y1,m

x2 : y2,1, y2,2 ...y2, j ...y2,m

……………………………

xn : yn,1, yn,2 ...yn, j ...yn,m ,

где i 1, n , j 1, m .

115

Каждое локальное распределение результативного признака можно

описать на эмпирическом уровне, рассчитав такие его характеристики как

локальная средняя результативного признака ~ , характеризующая

yi

положение центра распределения, и среднеквадратическое отклонение

результативного признака i ,

2

характеризующее форму локального

распределения.

Если при изменении значений факторного признака xi будут

смещаться центры локальных распределений (меняться значение локальных

средних ~i ), но не будет меняться форма локальных распределений (значения

y

внутригрупповых средних квадратических отклонений), то можно говорить

о наличии между признаками корреляционной связи.

Корреляционная связь является частным случаем статистической связи.

При корреляционной связи с изменением значения факторного признака

xi закономерно изменяется среднее значение результативного признака

~ , в то время как в каждом отдельном случае факторный признак может

yi

принимать множество различных значений.

Корреляционная связь может быть представлена уравнением: ~i =F( xi ),

y

где F( xi ) – функция связи среднего значения результативного признака с

факторным.

Корреляционная связь проявляется только на всей статистической

совокупности, а не в каждом отдельном случае, так как только при

достаточно большом числе случаев каждому случайному значению

факторного признака будет соответствовать распределение средних

значений случайного признака y.

По направлению корреляционные связи делятся на прямые и

обратные.При прямой связи результативный признак растёт с увеличением

факторного, при обратной - рост факторного признака приводит к

снижению значений результативного признака. Например, чем больше стаж

работы, тем выше производительность труда – прямая связь, а чем выше

производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции –

обратная связь.

По форме (аналитическому выражению) связи делятся на линейные

(прямолинейные) и нелинейные (криволинейные) связи. Линейные связи

выражаются уравнением прямой, а нелинейные – уравнением параболы,

гиперболы, степенной и т. п.

По количеству взаимодействующих факторовсвязи делятся на

парную (однофакторную) и множественную (многофакторную) связи. При

парной связина результативный признак действует один факторный, при

множественной– несколько факторных признаков.

Исследование статистической связи проводится в следующем порядке:

качественный анализ связи - определение состава признаков,

предварительный анализ формы связи;

сбор данных на основе статистического наблюдения;

116

корреляционный анализ (количественная оценка тесноты связи по

эмпирическим данным);

регрессионный анализ (аналитическое описание связи):

- выбор формы связи;

- оценка параметров модели;

- оценка качества модели.

Основным методом изучения статистической взаимосвязи

является ее моделирование на основе корреляционного и

регрессионного анализа.

Задачей корреляционного анализаявляется количественное

определение тесноты связи между двумя признаками при парной связи или

между результативным и несколькими факторными при множественной

связи.

Регрессионный анализ заключаетсяв определении аналитического

выражения связи в виде уравнения регрессии.Регрессией называется

зависимость среднего значения случайной величины результативного

признака от величины факторного, а уравнением регрессии – уравнение

описывающее корреляционную зависимость между результативным

признаком и одним или нескольким факторными.