6.7. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов

Эмпирические кривые распределения, построенные на основе, как

правило, небольшого числа наблюдений очень трудно описать аналитически,

поэтому для выявления статистических закономерностей, сравнения и

обобщения различных совокупностей аналогичных данных используются

теоретические распределения.

Теоретические распределения – это хорошо изученные в теории

распределения, представляющие собой зависимости между плотностями

распределения и значениями признака, отражающие закономерности

распределения. Они описываются статистическими функциями, параметры

которых вычисляются по статистическим характеристикам изучаемой

совокупности.

84

Исследование формы распределения предполагает замену

эмпирического распределения известным теоретическим, близким ему по

форме. При замене необходимо соблюдать условие: различия между

эмпирическим и теоретическим распределениями должны быть

минимальными. Это означает, чтосумма частот эмпирического

распределения должна соответствовать сумме частот теоретического

m m

распределения, т.е. ni niT , где niT - частота теоретического

i 1 i 1

распределения.

Теоретическое распределение в этом случае является некоторой

идеализированной моделью эмпирического распределения, и анализ

вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и

теоретического распределений и определению различий между ними.

В статистической практике наиболее широко используют следующие

теоретические распределения:

Биномиальное распределение – для описания распределения

дискретного альтернативного признака. Оно представляет собой

распределение вероятности исходов события, которые можно оценить как

положительные или отрицательные.

Распределение Пуассона - для изучения маловероятных событий

в большой серии независимых испытаний (объем совокупностей n 100,доля

единиц, обладающих данным признаком q 0,1). Например, количество

бракованных деталей в массовом производстве, число отказов

автоматических линий – т.е. в статистическом контроле.

Вероятность появления таких событий подчиняется Pn закону Пуассона

– «закону редких событий»:

n

e

Pn ,

n!

где Pn - вероятность события при одном испытании;

n - частота данного события

n p - среднее число появления события в одинаковых условиях;

e 2,72 - основание натурального логарифма.

Распределение Пуассона обычно применяется в статистическом

контроле качества в массовом производстве, в риск-менеджменте.

Распределение Максвеллаприменяется при исследовании признака,

для которого заранее известно, что распределение имеет положительную

асимметрию. Чаще всего Распределение Максвелла используется при

описании технологических характеристик производственных процессов.

Распределение «Стьюдента»применяют для описания распределения

ошибок в малых выборках ( n <30).

Плотность распределения ошибок малой выборки определяется как:

k 1

t2 2

t A 1 ,

k

85

~ x

x

где t - отношение Стьюдента,

S n 1

S– выборочное среднее квадратическое отклонение,

~ - выборочная средняя;

x

K=n-1- число степеней свободы при определении выборочной дисперсии,

k 1

A 2 ,

k

k

2

γ – значение γ- функции.

Распределение Стьюдента используется только при оценке ошибок

выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным

распределением признака.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

применяется для описания распределения признаков, на которые

действуют множество независимых факторов, среди которых нет

доминирующих.

Функция нормального распределения имеет вид:

( x x )2

1 2 2

' ( x) e ,

2

где ' ( x) - относительная плотность распределения (ордината кривой

нормального распределения);

=3,14, e 2,72 - математические константы;

x - среднее значение признака в распределении;

σ- среднее квадратическое отклонение.

Для конкретного распределения среднее значение признака x и

среднее квадратическое отклонение σ являются постоянными величинами.

Графически нормальное распределение может быть представлено в

виде симметричной колоколообразной кривой (рис. 6.6):

Рис. 6.6. Нормальное распределение

К основным свойствам кривой нормального распределения относятся:

86

кривая распределения является одновершинной; координаты вершины

–

1

{ x; };

2

кривая распределения симметрична относительно оси, проходящей

через центр распределения x Mo Me ;

кривая имеет три точки перегиба: в вершине, на левой ветви

1 1

{x ; }, и на правой - { x ; };

2 e 2 e

кривая имеет две ветви, асимптотически приближающиеся к оси

абсцисс, продолжаясь до бесконечности;

если меняется значение x , кривая перемещается вдоль оси ординат,

при этом форма кривой не меняется;

если меняется значение , меняется форма распределения при

неизменном положении центра распределения: при уменьшении σ -

уменьшается вариация, кривая становится более пологой,

увеличивается эксцесс; при увеличении σ - увеличивается вариация,

эксцесс уменьшается;

площадь, ограниченная кривой сверху и осью абсцисс снизу,

характеризует вероятность появления определенных значений

признака: если всю её принять за 100%, то в пределах x находится

68,3% всех значений признака, в пределах x 2 - 95,44% значений, в

пределах x 3 - 99,73% значений признака. Этот вывод называется

правилом “трех сигм”, в соответствии, с которым можно считать, что

все возможные значения нормально распределенного признака

укладываются в интервал x 3 .

Пользоваться функцией нормального распределения в её

первоначальном виде сложно, так как для каждой пары значений x и σ

необходимо создавать свои таблицы значений. Поэтому функцию

стандартизируют и затем используют для обработки рядов распределения,

для чего вводится понятие стандартного отклонения ti :

xi x

ti .

тогда:

t2

1 1

' ( x) e 2

.

2

t2

1

Выражение ' (t ) e , состоящее из констант и не содержащее

2

2

параметров, называется стандартизованной функцией нормального

распределения. Для неё разработаны специальные таблицы, позволяющие

находить конкретные значения ' (t ) при различных значениях аргумента.

Исходная функция нормального распределения связана со

стандартизированной соотношением:

87

1

' ( x) ' (t ) .

Стандартизованная функция является четной, т.е. ' ( t ) ' (t ) .

Для примера рассмотрим подбор теоретического распределения к ряду

распределения рабочих участка по стажу.

Данный ряд распределения характеризуется следующими параметрами:

x 12 лет, =6,3 года.

Для того чтобы оценить близость указанного ряда распределения к

нормальному, необходимо рассчитать частоты теоретического ряда

распределения ni .Для их расчета определяются стандартные отклонения

T

x x

t , затем по таблицам значений функции Лапласа находятся значения

' (t ) .

Для получения частот теоретического распределения ni необходимо T

воспользоваться зависимостью относительной плотности распределения

' ( x) с частотой ni , и ее связью со стандартизованной функцией

нормального распределения ' (t ) . Эти зависимости имеют вид:

qiTniT niT

' ( x) , следовател , ' ( x)

, qiT ьно .

ai N N ai

1

С другой стороны, ' ( x) ' (t ) , таким образом, имеет место

niT 1 ai N

равенство: ' (t ) , отсюда niT ' (t ) ;

N ai

где ai - ширина интервала,

N – объем статистической совокупности,

- среднее квадратическое отклонение,

' (t ) - стандартизованная функция нормального распределения.

Полученные значения ni округляются до целых значений в

T

соответствии со смыслом характеристики частоты.

Расчеты теоретических частот распределения рабочих по стажу

приведены в таблице 6.4:

88

Таблица 6.4

Вспомогательные расчеты для построения теоретического

распределения по данным о стаже работы рабочих участка.

Стаж, Расчет 2 - Расчет

№ лет критерия -критерия

п/п инт ni x x t x x ' (t ) niT ni niT(ni niT )2 N i NiT Ni

ерва bi niT N iT

л

0,112

1 0-4 2 6 -10 -1,59 4 2 1,00 6 4 2

7

0,254

2 4-8 6 8 -6 -0,95 8 0 0,00 14 12 2

1

0,379

3 8-12 10 11 -2 -0,32 12 - 1 0,08 25 24 1

0

12- 0,379

4 14 13 +2 +0,32 12 +1 0,08 38 36 2

16 0

16- 0,254

5 18 6 +6 +0,95 8 -2 0,50 44 44 0

20 1

20- 0,112

6 22 4 +10 +1,59 4 0 0,00 48 48 0

24 7

24- 0,033

7 26 2 +14 +2,22 2 0 0,00 50 50 0

28 9

Все

0-28 14 50 - - - 50 0 1,66 - - -

го

Для определения близости эмпирического и теоретического

распределений, можно построить эмпирическую и теоретическую кривые

распределения. Их сопоставление позволяет оценить степень расхождения

между ними.

Эмпирическую кривую строим по точкам с координатами { bi , ni },

теоретическую – по точкам с координатами { bi , ni }.T

Визуальное сопоставление эмпирической и теоретической кривых

распределения позволяет получить субъективную оценку их близости.

Сравнивая графики, можно утверждать, что наблюдается довольно большая

близость фактических и теоретических частот распределения.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что исследуемый ряд

подчиняется закону нормального распределения. Для получения объективной

оценки расхождения между эмпирической и теоретической кривыми

распределения используются специальные статистические показатели –

критерии согласия.

89