9. 3. Ошибки выборки

При правильном формировании выборки величину ее ошибки можно

рассчитать заранее. В общем случае под ошибкой выборки понимают

объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и

генеральной совокупности.

Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки

репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают из-за неправильных или неточных

сведений. Их источником является невнимательность регистратора,

неправильное заполнение формуляров, описки или же непонимание существа

исследуемого вопроса.

Ошибки репрезентативности возникают вследствие несоответствия

структуры выборки структуре генеральной совокупности. Источником их

существования является разная вариация признака у статистических единиц,

в результате которой распределение единиц в выборочной совокупности

отличается от распределения единиц в генеральной совокупности.

Ошибки репрезентативности делятся на систематические и случайные.

Систематические ошибки репрезентативности возникают из-за

неправильного формирования выборки, при котором нарушается основной

принцип научно организационной выборки – принцип случайности.

144

Случайные ошибки репрезентативности означают, что даже при

соблюдении принципа случайности отбора единиц, расхождения между

характеристиками выборки и генеральной совокупности все же имеют место.

Сущность случайной ошибки репрезентативности рассмотрим на

следующем примере: сравниваются данные об успеваемости студентов по

факультету в целом (генеральная совокупность) и по двум 10%-ным

случайным выборкам. Данные приведены в таблице 9.1.

Таблица 9.1.

Данные об успеваемости студентов

Оценка Количество студентов, чел.

Генеральная Первая выборка Вторая

совокупность выборка

2 100 9 13

(неудовлетворительно)

3 (удовлетворительно) 500 50 49

4 (хорошо) 380 30 32

5 (отлично) 120 21 15

Всего 1000 100 100

Объем генеральной совокупности N составил 1000 студентов, объем

каждой выборки составляет 10% от N, то есть n=0,1∙1000=100 человек.

Так как исходные данные представлены дискретными рядами

распределения студентов по уровню успеваемости, то средний балл

рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной. Он составляет:

100 2 3 500 4 380 5 10

по генеральной совокупности x 3,82 ;

1000

2 9 3 50 4 30 5 21

по первой выборке ~1

x 3,93 ;

100

~ 2 13 3 49 4 32 5 15

по второй выборке x2 3,76 .

100

Доля студентов, получивших оценки «хорошо» и «отлично», равна:

380 120

по генеральной совокупности d 0,5 ;

1000

30 21

по первой выборке 1 0,51;

100

32 15

по второй выборке 2 0,47 .

100

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности

является случайной ошибкой репрезентативности.

Ошибки репрезентативности для средней составляет:

~ x 3,93 3,82 0,11;

x1

~ x 3,76 3,82 0,06 .

x2

Соответственно, ошибки репрезентативности для доли равна:

1 d 0,51 0,5 0,01 ;

145

2 d 0,47 0,5 0,03 .

Из приведенных расчетов следует, что выборочная средняя и выборочная

доля являются случайными величинами, которые могут принимать

различные значения в зависимости от единиц, попавших в выборку.

Ошибки выборки также можно считать случайными величинами.

Они могут принимать разные значения, поэтому определяют среднюю из

возможных ошибок (стандартную).

Величина ошибки выборки зависит от следующих факторов:

- степень колеблемости признака в генеральной совокупности

Чем однороднее исследуемая совокупность, тем меньше величина

средней ошибки при той же самой численности выборки.

- объем (численность) выборки

Увеличивая или уменьшая объем выборки n, можно регулировать

величину средней ошибки. Чем больше единиц будет включено в выборку,

тем меньше будет величина ошибки, так как тем точнее в выборке будет

представлена генеральная совокупность.

- способ отбора единиц в выборочную совокупность

Для каждого способа формирования выборки величина ее ошибки

определяется по-разному. В практической деятельности используются

различные способы формирования выборочной совокупности, но

принципиальное значение имеет их деление на способы случайного

повторного и бесповторного отбора.

При собственно случайном повторном отборе общее число единиц

генеральной совокупности в процессе выборке не меняется.

Статистическая единица, попавшая в выборку, после регистрации

изучаемого признака возвращается в генеральную совокупность и может

вновь попасть в выборку. Таким образом, для всех единиц генеральной

совокупности обеспечивается равная вероятность отбора.

В математической статистике доказывается, что средняя ошибка

выборки ~ определяется по формуле:

2

~

~ ,

n

2

где ~- генеральная дисперсия.

Генеральная дисперсия, также как и остальные параметры генеральной

совокупности является неизвестной величиной, но известно соотношение

2 n

между генеральной и выборочной дисперсией: 2

~ S~ ; тогда при

n 1

n

достаточно большом объеме выборки (n>30), является величиной

n 1

близкой к 1, и можно считать, что 2

~

2

S~ .

146

В случаях малой выборки при n<30 необходимо учитывать отношение

n

и рассчитывать среднюю ошибку малой выборки по формуле:

n 1

2

S~

~ м.в.

n 1.

Таким образом, для среднейколичественного признакасредняя

ошибка выборки x равна:

Sx2

x

;

n

n

( xi x)2

где Sx2 i 1

- выборочная дисперсия количественного признака.

n

Средняя ошибка выборки для доли определяется по формуле:

S2

;

n

где S 2 (1 ) - выборочная дисперсия доли альтернативного признака.

Применение простой случайной повторной выборки на практике

весьма ограниченно. Это связано с тем, что практически нецелесообразно, а

иногда и невозможно повторное наблюдение одних и тех же единиц, и

поэтому однажды обследованная единица повторному учету не

подвергается. В связи с этим чаще на практике применяется бесповторный

отбор.

При бесповторном собственно случайном отборе общее количество

статистических единиц в генеральной совокупности в процессе

формирования выборки меняется, уменьшаясь каждый раз на единицу,

попавшую в выборку, поскольку отобранные единицы в генеральную

совокупность не возвращаются. Таким образом, вероятность попадания

отдельных единиц в выборку при бесповторном случайном отборе также

меняется (для оставшихся единиц она возрастает). В целом вероятность

попадания любой статистической единицы в выборку при бесповторном

n

отборе может быть определена как 1 . На эту величину должна быть

N

скорректирована и средняя ошибка выборки при бесповторном отборе.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при

бесповторном отборе принимают вид:

для средней количественного признака

2

S~

x n

~

x (1 );

n N

для доли альтернативного признака

147

(1 ) n

(1 )

n N .

На практике при применении выборочного метода определяются

пределы, за которые не выйдет величина конкретной ошибки выборочного

исследования. Величина пределов конкретной ошибки определяется

степенью вероятности, с которой измеряется ошибка выборки.

Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью вероятности,

называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки является максимально возможной при

данной вероятности ошибкой. Это означает, что с заданной вероятностью

гарантируется, что ошибка любой выборки не превысит предельную ошибку.

Такая вероятность называется доверительной.

Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

~ t ~;

где t – коэффициент доверия, значения которого определяются

доверительной вероятностью Р(t ) .

Значения коэффициента доверия t задаются в таблицах нормального

распределения вероятностей. Чаще всего используются следующие

сочетания:

T Р(t )

1 0,683

1,5 0,866

2,0 0,954

2,5 0,988

3,0 0,997

3,5 0,999

Так, если t = 1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что

расхождение между выборочными характеристиками и параметрами

генеральной совокупности не превысит одной средней ошибки.

Для экономических задач доверительная вероятностьобычно

принимается равной 0,95.

Предельные ошибки выборки для разных параметров при разных

методах отбора статистических единиц рассчитываются по формулам,

приведенным в таблице 9.2.

Таблица 9.2.

148

Предельные ошибки выборки

Метод отбора Предельные ошибки выборки

Для средней Для доли

Повторный 2

S~ (1 )

~ t x t

x n

n

Бесповторный 2 (1 ) n

S~

x n t (1 )

~

x t (1 ) n N

n N

Зная величину предельной ошибки выборки, можно рассчитать

интервалы для характеристик генеральной совокупности:

Доверительный интервал для генеральной средней равен ( ~ ~) ;

x x

для генеральной доли - ( ).

Рассмотрим нахождение средних и предельных ошибок выборок,

определение доверительных интервалов для средней и доли на следующем

примере:

При оценке спроса на товар А. было проведено пятипроцентное

бесповторное обследование регионального рынка. При этом было выяснено,

что в 90 из 100 обследованных семей данный товар потребляется. В среднем

каждая из обследованных семей потребляла 5 единиц товара (x 5) при

~

стандартном отклонении 0,5 единицы (S=0,5 ед.). С вероятностью p=0,954

установить долю семей, потребляющих данный товар и среднее его

потребление (спрос).

Для получения статистических оценок параметров генеральной

совокупности выполним следующие процедуры:

1.Определим характеристики выборочной совокупности:

- выборочнуюдолю (удельный вес семей в выборке, потребляющих товар

m 90

А.): 0,9 .

n 100

- выборочную среднюю (средний объем потребления товара А. одной семьей

в выборке): ~ 5 единиц.

x

2.Определим предельные ошибки выборки:

(1 ) n 0,9 (1 0,9) 100

для доли t (1 ) 2 (1 ) 0,0585 ,

n N 100 2000

n 100

где N 2000семей;

5

2

S~ n 0,52 100

для средней ~ t

x x

(1 ) 2 (1 ) 0,1 .

n N 100 2000

3. Рассчитаем доверительные интервалы характеристик генеральной

совокупности:

для доли - d ,

0,9-0,059 ≤ d ≤ 0,9+0,059,

149

0,841< d < 0,959;

для средней - ~ x ~ ~ ,

x x x

5-0,1≤ x ≤5+0,1,

4,9 < x <5,1.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля

семей потребляющих данный товар не меньше 84,1%, но не более 95,9%, а

среднее потребление товара в семьях находится в пределах от 4,9 до 5,1

единиц. На основании проведенных расчетов можно определить границы

потребления товара А. (спрос) на данном рынке:

4,9 0,841 2000 Q 5,1 0,959 2000,

8240 Q 9780.

Это означает,что, с вероятностью в 95% можно утверждать, что спрос

на товар А. не будет ниже 8240 единиц, но и не превысит 9780 единиц.