8.4. Оценка существенности парной корреляционной связи

Для проверки существенности парной корреляционной связи, то есть

соответствия полученной модели данным наблюдения используется

следующий подход: модель признаётся значимой, если таковыми

являются параметры модели или показатели тесноты связи. При этом

выясняется, не являются ли вычисленные значения параметров регрессии

случайными величинами? Значимость параметров линейной модели

определяется с помощью t-критерия Стьюдента. Для каждого из

параметров уравнения регрессии вычисляются расчетные (фактические)

значения t-критерия:

n 2

для параметра a: t a 0 a ;

€

y y

n 2

для параметра b: tb b x

€

y y

где n – число наблюдений;

€

y y2

€

y y - остаточное среднее квадратическое отклонение

n

результативного признака y от выравненных значений y , рассчитанных по

€

модели;

128

2

x x

x - среднее квадратическое отклонение факторного

n

признака xi от общей средней x .

Вычисленные значения t-критериев сравниваются с критическими

значениями t , , определёнными по таблице распределения Стюдента с

учётом принятого уровня значимости и числа степеней свободы вариации

n 2.

Параметр признаётся значимым, если выполняется неравенство:

t РАСЧ t , . В этом случае найдённые значения параметров не являются

случайными, а уравнение регрессии признаётся существенным.

Значимость линейной регрессии можно оценить по линейному

коэффициенту корреляции. Модель признаётся значимой, если расчётное

значение t-критерия для линейного коэффициента корреляции

превышает табличное, то есть выполняется неравенство: t r t , . YX

Расчётное значение t-критерия для линейного коэффициента

корреляции определяется по формуле:

n 2

t rYX r yx 2

.

1 r yx

Для нелинейных моделей их существенность проверяется с помощью

F-критерия Фишера.

Модель признаётся значимой, если выполняется следующее

неравенство:

F Р FV1,V 2 ;

где F - расчётное значение критерия Фишера,

Р

FV1,V 2 - критическое значение критерия Фишера, выбираемое по специальной

таблице распределения F-критерия.

Расчётное значение F-критерия определяется по формуле:

2

Т n m

,

F РАСЧ

2 m 1

1

T

2

где T - теоретический коэффициент детерминации,

m- число параметров уравнения регрессии.

Теоретический коэффициент детерминации 2 является

T

показателем тесноты связи результативного и факторного признака в

уравнении регрессии. Рассчитывается 2 на основе правила сложения

T

дисперсий.

129

При наличии уравнения регрессии, описывающего существующую

связь, степень влияния факторного признака на результативный может быть

выражена следующим образом:

yi €

yi i ,

где yi - теоретическое (сглаженное) значение результативного признака,

€

просчитанное по уравнению регрессии.

Соответственно, дисперсия результативного признака y должна 2

включить в себя дисперсию теоретических значений результативного

признака (объяснённую) y€ и дисперсию отклонений эмпирических

2

(наблюдаемых) значений результативного признака от теоретических

y y (остаточную).

2

€

Таким образом, 2

y

2

€

y

2

€

y y ,

2

y y

где 2

y = - общая дисперсия результативного признака;

n

€

y y

2

€

y - объяснённая дисперсия результативного признака;

n

€

y y2

2

€

y y - остаточная дисперсия результативного признака.

n

Объяснённая дисперсия 2

y€ характеризует влияние фактора,

включённого в модель, на общую вариацию результативного признака.

Остаточная дисперсия y y характеризует влияние факторов, не

2

€

включённых в уравнение регрессии, на вариацию результативного

признака.

Теоретический коэффициент детерминации определяется через

соотношение объясненной и общей дисперсии результативного признака.

2 2

2 € 2 €

y

2 , так как 2

€

y

2

y

2

€

y y , то 1 y y

2 .

T y

T y

Оценим качество линейного уравнения регрессии €

y 110.5 1.5x ,

выражающего влияние времени вулканизации на качество резины

(сопротивление на разрыв). Оценку проведём на основе линейного

коэффициента корреляции, рассчитанного по данным таблицы 8.8:

x y 518 2324

xy 86389

n 14

r yx 2 2

5182 23242

0.925

x y 19406 386454

x2 y2 14 14

n n

Расчётное значение критерия Стьюдента составит:

130

n 2 14 2

t ryx r yx 2

1 r yx

0.925

1 0.9252

83,3

Табличное значение t-критерия составляет t ,v 2.179 при α = 0,05 и

v= 14-2 =12.

Таким образом, с вероятностью в 95% можно утверждать, что

численное значение линейного коэффициента корреляции не является

случайной величиной, а уравнение регрессии y 110.5 1.5x является

€

статистически значимым.