8.5. Множественная корреляция

Двухмерные корреляционные модели (парная корреляция)

используются в случаях, когда среди факторов, влияющих на результативный

признак, есть доминирующий. Таких связей немного, чаще встречаются

зависимости результативного признака от нескольких факторных, так как

экономические явления находятся под влиянием значительного числа

одновременно и совокупно действующих факторов. Для описания

совместного влияния одновременно действующих факторов на результат

используют множественные корреляционные модели вида: н f x1 , x2 ,...xK

€

Модели подобного класса используются при изучении спроса, функции

потребления, доходности акций, оценке рисков и т.д.

Задача множественного корреляционно-регрессионного анализа в

общем виде формулируется следующим образом:

Пусть некоторая статистическая совокупность, состоящая из n

единиц наблюдения обладает определённым набором признаков, один из

которых играет роль результативного y, а остальные – факторных

x1 , x2 ,...xK . На основе наблюдаемых значений всех признаков требуется

выявить и описать связь между ними в виде множественной

корреляционной модели вида: н f x1 , x2 ,...xK .

€

Решение данной задачи требует последовательного выполнения

следующих этапов исследования множественной корреляционной связи:

предварительный отбор факторов, включаемых в модель;

предварительное описание связи;

уточнение модели на основе анализа корреляционной матрицы;

определение тесноты связи;

оценка надёжности множественной корреляционной модели;

интерпретация модели.

8.5.1. Предварительный отбор факторов

Изучение множественной регрессии (корреляции) требует измерения

не только прямого воздействия каждого фактора на результат, но и учёта

влияния факторов друг на друга, то есть учета наличия межфакторных

131

связей. Общее число связей всегда значительно больше числа факторов,

включаемых в модель. Оно определяется выражением:

kk 1

l ;

2

где k – количество факторных признаков, включенных в модель.

Например, если в модель включаются четыре фактора, то количество

связей равно 10, если в модель включено 10 факторов, то общее число связей

составит 55.

В общем случае, при большом числе учитываемых факторов

необходимо строить сложные модели, требующие проведения сложных

расчётов; модели получаются громоздкими. С другой стороны,- чем большое

количество факторов учитывается, тем адекватнее построенная модель.

Для разрешения указанного противоречия предварительно

ограничивается число учитываемых факторов. Целесообразность их

включения в модель определяется следующими соображениями:

они должны быть соизмеримы, иметь количественное выражение;

факторы не должны быть интеркоррелированы, то есть тесно связанными

между собой;

они должны объяснять вариацию результативного признака.

При включении в модель интеркоррелированных факторов

невозможно определить изолированное влияние таких факторов на

результативный показатель, а оценки параметров уравнения множественной

регрессии будут ненадёжными, зависимыми от наблюдений.

8.5.2.Предварительное описание множественной корреляционной

связи (МКС) осуществляется через построение соответствующего уравнения

регрессии. Практика показывает, что можно использовать следующие пять

функций, так как они описывают все реально существующие зависимости

между социально-экономическими явлениями:

1. линейная y a0 a1 x1 a2 x2 ..... ak bk ;

€

2. степенная y a0 x1a1 x2 a2 ..... xk ak ;

€

a0 a1 X1 a2 x2 ...... K X K

a

3. показательная (экспотенциональная) €

y e ;

4. параболическая y a0 a1 x 21 a2 x2 2 ..... ak bk2 ;

€

a1 a2 ak

5. гиперболическая y a0

€ .... .

x1 x2 xk

Работать с нелинейными функциями сложно, поэтому основное

значение имеют линейные модели в силу их простоты и логичности

экономической интерпретации. Нелинейные формы всегда можно привести к

линейной, используя известный в математике приём «линеаризации

функций».

Величина каждого параметра в уравнении прямой может быть

определена по методу наименьших квадратов. Дляэтого в функционал

132

2

S €

y y min подставим

выражение прямолинейной функции. В

результате подстановки получаем:

2

y a0 a1 x1 a2 x2 ..... aK xK min

Продифференцировав полученное выражение по каждому из

параметров, получаем систему нормальных уравнений вида:

2

y a0 n a1 x1 a2 x2 ... ak xk

y x1 a0 x1 a1 x12 a2 x1 x2 ... ak 2

xk

2

y x2 a0 x2 a1 x1 x2 a2 x2 xk ... ak xk

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.......

2

y xk a0 xk a1 x1 xk a2 x2 xk ... ak xk

Число уравнений в системе равно числу параметров, поэтому задача их

нахождения является разрешимой.

При выборе формы уравнения множественной регрессии

необходимо иметь в виду:

1. Чем сложнее функция, тем хуже интерпретируются параметры

модели.

2. Сложные функции (полиномы) с большим количеством факторов

требуют большого числа наблюдений (на каждый параметр не менее 6

наблюдений).

8.5.3. Окончательный отбор факторов

Окончательный отбор факторов, то есть уточнение корреляционной

модели проводится на основе анализа корреляционной матрицы.

Корреляционная матрица состоит из парных линейных коэффициентов

корреляции ryx , отражающих тесноту связи результативного и факторного

признака и коэффициентов интеркорреляции rxixj , отражающих тесноту связи

между i-м и j-м факторными признаками, рассчитываемых по известной

формуле:

x y

xy

= n ; .

r ij

2 2

r r

ij ji

2 x 2 x

x n

y n

Общий вид корреляционной матрицы приведен в таблице 8.9.

133

Таблица8.9

Общий вид корреляционной матрицы

x1 x2 ………. x j ………. x

y K

y

1 r YX1 r YX2 r YX j r YX K

x1 r YX1

1 r X1 X 2 r X1 X j

r X1 X K

x2 r YX2 r X1 X 2

1 r X2X j r X2 XK

……

….

x j r YX j r X j X1 r X j X2

1 r X j XK

……

……

x K r YX K r X K X1 r X 2 X2 r XK X j

1

Факторы, теснота связи между которыми оценивается как высокая,

считаются коллинеарными. Окончательный отбор факторов заключается

во включении в модель независимых (неколлинеарных)

факторов.Процедура отбора осуществляется способом шаговой регрессии.

Применение шаговой регрессии рассмотрим на следующем примере: в

процессе предварительного отбора были выявлены 5 факторов, влияющих на

результат. Значения линейных коэффициентов корреляции приведено в

таблице 8.10. Необходимо построить двухфакторную корреляционную

модель.

Корреляционная матрица имеет вид

Таблица 8.10

Корреляционная матрица

y x 1 x2 x 3 x 4 x 5

1 -0,43 0,50 0,55 0,7 0,31

y

x 1

-0,3 1 0,65 -0,44 0,5 0,38

x 2

0,50 0,62 1 0,85 0,79 0,7

x 3

0,55 -0,44 0,85 1 -0,95 0,50

x 4

0,70 0,5 0,79 -0,95 1 0,78

x 5

0,1 0,38 0,70 0,50 0,78 1

1. Для обоснования включения факторов в модель оценивается первая

строка матрицы, отражающая связь факторов с результатом. В модель

включаются факторы, оказывающие наибольшее влияние на результат (с

134

максимальными линейными коэффициентами корреляции). Такими являются

факторы x3 и x4 .

2. Оценивается теснота межфакторной связи. Если она высока, то

между данными факторами существует тесная зависимость, то есть факторы

коллинеарны, а коллинеарность (тесная зависимость между факторами)

существенно искажает результаты исследования. Связь относится к

коллинеарной, если: rij 0.8 . rx3x5 0.95 , - факторы коллинеарны. Один из

них необходимо исключить из модели. Исключается фактор с меньшим

значением линейного коэффициента корреляции - x3 .

3. Для включения недостающего фактора в модель рассматриваются

факторы, невошедшие в модель на первом этапе. Это факторы x1 , x2 , x5 . Из

них выбирается фактор с максимальным значением линейного коэффициента

корреляции. Это x2 с ryx2 0.50 . Проверяем тесноту межфакторной связи

x2 , x4 , для нее rx2x4 0.79 - факторы неколлинеарны. Таким образом, в модель

включаются факторы x2 и x4 . Она имеет вид: y F(x2 , x4 ) .

€

8.5.4. Оценка тесноты связи

Оценка тесноты множественной корреляционной связи проводится на

основе двух показателей: множественного коэффициента детерминации

Ryx1...xk и множественного коэффициента корреляции Ryx1...xk .

2

Сложность расчёта этих показателей связана с необходимостью учёта

межфакторных связей. Гипотетически данные показатели рассчитываются по

формулам:

2

2 Y Y €

R yx1...xk =1 2

;

Y

2

Ryx1...xk = R. yx1...xk

На практике множественный коэффициент корреляции R

рассчитывается на основе определителей корреляционной матрицы:

r

Ryx1...xk = 1 ;

rxixj

где r - общий определитель корреляционной матрицы;

rxixj - определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для двухфакторной модели множественный коэффициент корреляции

определяется по формуле:

2 2

ryx1 ryx2 2 ryx1 ryx2 rx1x 2

Ryx1x2 = .

1 rx2 x 2

1

Диапазон изменения множественного коэффициента корреляции Ryx1...xk

= 0 1 . «0» означает отсутствие связи, «1» - наличие функциональной

135

множественной связи между признаками. Для классификации тесноты связи

используется шкала Чеддока.

8.5.5. Оценка надёжности модели

Для оценки надёжности выявленной связи сравнивается

множественный коэффициент корреляции с линейными корреляционными

коэффициентами корреляции между результатом и факторными признаками,

включёнными в модель.

Связь признаётся надёжной, если Ryx1...xk max ryxj .

8.5.6. Интерпретация параметров модели

Завершающим этапом множественной корреляции является

интерпретация параметров построенной корреляционной модели. Чем

больше величина этих параметров (коэффициентов регрессии), тем

значительнее влияние данных факторов на результат. Важное значение

имеют знак перед коэффициентами регрессии. Знак “+” свидетельствует о

росте результата при увеличении факторного признака, знак “-” – об

уменьшении результата при росте факторного.

Пример построения многофакторной корреляционной модели: В

результате выборочного исследования была собрана следующая информация

об акционерных обществах (таблица 8.11):

Таблица8.11

Финансовые показатели акционерных обществ

№ п/п Размер Сумма кредитов Уставной

дивидендов, % капитал, млн.руб.

1 2 10 4

2 3 14 14

3 5 16 10

4 6 8 8

5 7 12 20

6 11 10 10

7 12 2 36

8 18 8 26

Итого 64 80 128

Требуется описать связь между размером получаемых дивидендов,

суммой взятых кредитов и размером УК.

Считаем, что связь между результативным и факторными признаками

линейная, описываемая уравнением: y a0 a1 x1 a2 x2 .

€

Для нахождения параметров используется метод наименьших

квадратов, получаем систему уравнений:

136

y a0 n a1 x1 a2 x2

y x1 a0 x12 a2 x1 x2

y x2 a0 x2 a1 x1 x2 a2 x2

Для расчёта численных значений параметров составим

вспомогательную таблицу:

Таблица 8.12

Таблица вспомогательных расчетов

№ п/п y x x x

2 2

yx yx xx y

2

1 2 1 x 2 1 2 1 2

1 2 10 4 100 16 20 8 40 4

2 3 14 14 196 196 42 42 196 9

3 5 16 10 256 100 80 50 160 25

4 6 8 8 64 64 48 48 64 36

5 7 12 20 144 400 84 140 240 49

6 11 10 10 100 100 110 110 100 121

7 12 2 36 4 1296 24 432 72 144

8 18 8 26 64 676 144 468 208 324

Итого 64 80 128 928 2848 552 1298 1080 712

64 8a0 80a1 128a2 ;

552 80a1 928a2 1080a2 ;

1298 128a0 1080a1 2848a2 .

Решение системы даёт следующие значения параметров:

a0 5.14 ; a1 0.21; a2 0.31.

Модель имеет вид: y 5.14 0.21x1 0.31x2 .

€

Определим тесноту связи и надежность данной модели. Для этого

предварительно рассчитаем линейные коэффициенты корреляции:

x y 1

xy

1

n 552

80 64

ryx1 8

2

x y

2 802 642

2 2 928 712

x1

n

y n 8 8

552 640 88

0.55 ,

128 200 160

ryx2 0.685 , rx1x 2 0.625 .

Такие значения линейных коэффициентов корреляции означают, что

факторы не являются коллинеарными, оба должны быть включены в модель.

Множественный коэффициент корреляции получается равным:

137

0.55 2 0.685 2 2 0.55 0.685 0.625

Ryx1x 2 0.703.

1 0.625 2

ПО шкале Чеддока связь классифицируется как тесная. Поскольку

Ryx1x2 max rYX1, rYX 2 , (0,703>0.685), модель надёжна, связь статистически

значима. Параметры модели интерпретируются следующим образом:

a1 0.25 показывает, что при неизменности уставного капитала

дополнительная сумма кредитов на 1 млн. руб. приводит к снижению

размеров дивидендов на 0,25%; соответственно

a2 0,28 показывает, что при неизменности суммы взятых кредитов

прирост уставного капитала на 1 млн. руб. приводит к росту дивидендов на

0,28%.