2.4. Средние показатели

Средние показатели являются наиболее распространённой формой

статистических показателей, используемых в социально-экономических

исследованиях. Средним называется обобщающий показатель

статистической совокупности, характеризующий наиболее типичный

уровень явления. Средний показательвыражает величину признака на

единицу совокупности. Особенности средних показателей заключаются в

том, что они, во-первых, отражают общее, присущее всем единицам

совокупности; во-вторых, в них взаимопогашаются отклонения значений

признака, возникающиеся под воздействием случайных факторов. Это

означает, что средний показатель отражает типичный уровень признака,

формирующийся под воздействием доминирующих неслучайных факторов.

Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный

признак совокупности одним числом, несмотря на то, что у разных единиц

совокупности значения признака отличны друг от друга.

В социально-экономическом анализе используются два класса средних

величин:

степенные средние;

структурные средние.

Кстепенным среднимотносятся несколько видов средних,

построенных по одному общему принципу:

n

xik

k

i

x ,

n

где xi - варианта,

n=N - объем статистической совокупности,

k- показатель степени.

Показатель степени k может принимать любые значения, но на

практике обычно используются следующие: при k = 1 получают среднюю

26

арифметическую; k = -1 – среднюю гармоническую; k = 0 – среднюю

геометрическую; k =2 – среднюю квадратическую.

Степенные средние в зависимости от формы представления исходных

данных могут быть простыми и взвешенными.

Если исходные данные представлены простым перечислением

значений признака у статистических единиц, то используется формула

степенной средней простой:

k

xik

k

i

x .

n

Если данные предварительно сгруппированы (представлены рядом

распределения), то используется формула степенной средней

взвешенной:

m

xik ni

i 1

x k m ;

ni

i 1

где ni– частота повторения индивидуальных значений признака;

m- количество однородных групп.

2.4.1. Средняя арифметическая является наиболее распространенным

видом степенных средних,используется в случаях, когда объём

усредняемого признака является аддитивной величиной, т.е. образуется

как сумма его значений по всем единицам статистической совокупности.

При этом, если индивидуальные значения признака у статистических единиц

заменить средней арифметической, то суммарный объем признака по

совокупности в целом сохраняется неизменным. Это означает, что средняя

арифметическая есть среднее слагаемое.

Средняя арифметическая простая используется при работе с

несгруппированными данными и рассчитывается по формуле:

N

xi

i

x= .

N

Например, известна сменная выработка рабочих бригады токарей:

табельный номер рабочего: 1 2 3 4 5

количество изготовленных деталей, шт.: 22 19 20 18 21

Требуется определить среднюю выработку бригады.

Для ее нахождения используется формула средней арифметической

простой:

22 19 20 18 21

x 20,0шт. .

5

27

Если в исходных данных отдельные значения усредняемого признака

повторятся, то расчет средней проводится по сгруппированным данным

или вариационным рядам. В подобных случаях для расчета необходимо

применять среднюю арифметическую взвешенную – среднюю

сгруппированных величин:

m

xi ni m

x i 1

m

; или xi xi qi ;

i 1

ni

i 1

ni

где qi m

- частость, т. е. удельный вес статистических единиц,

ni

i 1

обладающих определенным значением признака в общем объеме

совокупности.

Средняя арифметическая обладает рядом полезных свойств, к

важнейшим из которых относятся:

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой величине:

А = А при А=const;

2 . Алгебраическая сумма отклонений вариант от их средней арифметической

равно нулю:

( xi x) ni 0 ;

3. Если все варианты уменьшить (увеличить) на постоянное число А, то

средняя арифметическая из них уменьшится (увеличится) на это же число:

( xi A) ni

x A;

ni

4. Если все варианты одинаково увеличить (уменьшить) в одно и то же число

раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же

раз:

xi A ni

x A;

ni

5. Если все веса средней одинаково увеличить (уменьшить) в несколько раз,

то средняя арифметическая не изменится.

ni

xi

A xi А ni

x.

ni A ni

A

Пример использования средней арифметической: рассчитать среднюю

продажную цену товара по данным, приведенным в таблице 2.3:

28

Таблица 2.3.

Объём продаж и цена товара А. в магазинах города

Магазины Продажная цена единицы, Объём продаж, шт.

руб.

“Космос” 20 25000

“Ариадна” 18 40000

“Вега” 19 40000

Итого ? 105000

Использовать среднюю арифметическую простую в данном случае

нельзя, так как в разных магазинах продано разное количество товара А. Для

расчёта средней продажной цены товара А. следует применить среднюю

арифметическую взвешенную:

m

xi ni

20 * 25000+ 18* 40000+ 19 * 40000

x i 1

m

= = 18,86 руб.

105.000

ni

i 1

При применении средней арифметической простой средняя продажная

цена товара составляла бы:

20 18 19

x 19 руб. , т.е. оказалась бы завышенной.

3

2.4.2. Средняя гармоническая имеетболее сложную конструкцию,

чем средняя арифметическая. Используется в тех случаях, когда

статистическая информация не содержит частот по отдельным

значениям признака, а представлена произведением значения признака на

частоту. Средняя гармоническая как тип степенной средней выглядит

следующим образом:

n

1

1 i 1

x i

x ;

N

В зависимости от формы представления исходных данных средняя

гармоническая может быть рассчитана как простая и как взвешенная.

Если исходные данные несгруппированны, то применяется средняя

гармоническая простая:

N

x n

;

1

i 1 xi

К средней гармонической прибегают в случаях определения, например,

средних затрат труда, материалов и т. д. на единицу продукции по

нескольким предприятиям.

29

При работе со сгруппированными данными используется средняя

гармоническая взвешенная:

m

wi

i 1

x m

,

wi

i 1 xi

где wi статистический вес; wi xi ni .

Если в предыдущем примере принять, что неизвестны объемы продаж

в натуральных измерителях, но известны объемы продаж в стоимостных

измерителях, то для определения средней цены следует использовать

формулу средней гармонической взвешенной. Пусть в магазине «Космос»

продано товара на 500000руб., в магазине «Ариадна» - на 720000руб.,

магазине «Вега» - на760000руб.Средняя цена единицы товара составила:

500000 720000 7600000

х= =18,86 руб.

500000 720000 760000

20 18 19

2.4.3. Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда

общий объем усредняемого признака является мультипликативной

величиной, т.е. определяется не суммированием, а умножением

индивидуальных значений признака.

Она применятся только в форме средней геометрической простой:

n

хгеом n х1 х2 ... хn n xi .

i 1

Форма средней геометрической взвешенной в практических

расчётах не используется.

В социально-экономических исследованиях средняя геометрическая

применяется в анализе рядов динамики при определении среднего

коэффициента роста, когда задана последовательность относительных

величин динамики.

Рассмотрим пример:

Необходимо определить средний коэффициент роста цены на товар,

при условии, что за первый период цена товара возросла в 2 раза по

сравнению к предыдущему предыдущему, а за второй ещё в 1,5 раза по

сравнению к предыдущему.

За два наблюдаемых периода цена возросла в 3 раза (2∙1,5). Если

использовать среднюю арифметическую, то средний коэффициент роста

2 + 1,5

составит = 1,75 раза; за двапериода цена при таком среднем

2

коэффициенте роста должна составить 1,75∙1,75=3,0625 раза, что выше

реального на 0,625 или на 6,25%; В действительности средний коэффициент

роста следует определить по формуле средней геометрической:

30

хгеом= 2Ч1,5 = 1,73.

Средняя геометрическая используется также для определения

равноудаленной величины от максимального и минимального значения

признака. Например, страховая фирма заключает договоры страхования

имущества граждан. В зависимости от вида имущества, его состояния,

категории фирмы, конкретного рискового случая и т. д. страховая сумма

может изменяться от 1млн. руб. до 10млн. руб. Средняя сумма по страховке

составит:

хгеом= 1 10 3,162 млн. руб.

2.4.4. Средняя квадратическая используется в тех случаях, когда

при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину

необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.

Главная сфера её прменения – измерение степени колеблемости

индивидуальных значений признака относительно средней арифметической

(среднее квадратическое отклонение). Кроме этого, средняя квадратическая

применяется в тех случаях, когда необходимо вычислить средний величину

признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения

(при вычислении средней величины квадратных участков, средних диаметров

труб, стволов и т. д.).

Средняя квадратическая рассчитывается в двух формах:

n

xi2

как простая: xКВ i 1

;

N

m

xi2 ni

как взвешенная: xКВ i 1

m

.

ni

i 1

Все степенные средние различаются между собой значениями

показателя степени. При этом, чем выше показатель степени, тем больше

количественное значение среднего показателя:

хгарм≤ хгеом ≤ харифм≤ хкв .

Указанное свойство степенных средних называется свойством

мажорантности средних.

Таким образом, выбор вида среднего показателя

оказываетсущественноевлияние на его численную величину. Выбор вида

средней определяется в каждом отдельном случае путем анализа

исследуемой совокупности, изучения содержания явления. Степенная

средняя выбрана правильно, если на всех этапах вычислений не

31

меняется её логическая формула, т.е. реально сохраняется социально-

экономическое содержание усредняемого признака.

Особый вид средних показателей – структурные средние. Они

используются при изучении внутреннего строения рядов распределения

значений признака.