5. Обработка результатов прямых и косвенных измерений.

а) Погрешности измерений.

Количественная сторона процессов и явлений в любом эксперименте изучается с помощью измерений, которые делятся на прямые и косвенные.

Прямым называется такое измерение, при котором значение, интересующее экспериментатора величины находятся непосредственно из отсчета по прибору.

Косвенное - это измерение, при котором значение величины находится как функция других величин. Например, сопротивление резистора определяют по напряжению и току (R = ).

Измеренное значение х_изм. некоторой физической величины х обычно отличается от ее истинного значения х_ист.. Отклонение результата, полученного на опыте, от истинного значения, т.е. разность х_изм.– х_ист. = ∆х – называется абсолютной ошибкой измерения, а – относительной ошибкой (погрешностью) измерения. Погрешности или ошибки делятся на систематические , случайные и промахи.

Систематическими ошибками называются такие ошибки, величина и знак которых от опыта к опыту сохраняется или изменяется закономерно. Они искажают результат измерений в одну сторону – либо завышая, либо занижая его. Подобные ошибки вызываются постоянно действующими причинами, односторонне влияющие на результат измерений (неисправность или малая точность прибора).

Ошибки, величина и знак которых непредсказуемым образом изменяются от опыта к опыту, называются случайными. Такие ошибки возникают, например, при взвешивании из-за колебаний установки, неодинакового влияния трения, температуры, влажности и т.д. Случайные ошибки возникают и из-за несовершенства или дефекта органов чувств экспериментатора.

Случайные погрешности исключить опытным путем нельзя. Их влияние на результат измерения может быть оценено с помощью математических методов статистики (малые выборки).

Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, существенно превышающие систематические и случайные погрешности. Наблюдения, содержащие промахи отбрасываются как недостоверные.

б) Обработка результатов непосредственных измерений.

Для надежности оценки случайных погрешностей необходимо выполнить достаточно большое количество измерений п. Допустим, что в результате непосредственных измерений получены результаты х₁, х₂, х₃, …, х_п. Наиболее вероятное значение определяется как среднее арифметическое, которое при большом числе измерений совпадает с истинным значением: .

Затем определяют среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения: .

При этом можно оценить наибольшую среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения: S_наиб. = 3S.

Следующий этап заключается в определении средней квадратичной ошибки среднего арифметического:

.

Ширина доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины будет определяться поабсолютной погрешности среднего арифметического: , где t_α,n – так называемый коэффициент Стьюдента для числа наблюдений п и доверительной вероятности α (табличная величина). Обычно доверительная вероятность в условиях учебной лаборатории выбирается 0,95 или 95%. Это значит, что при многократном повторении опыта в одних и тех же условиях, ошибки, в 95 случаях из 100 не превысят значения . Интервальной оценкой измеряемой величины x будет доверительный интервал , в который попадает её истинное значение с заданной вероятностью α. Результат измерения записывается: .

Эту запись можно понимать как неравенство: .

Относительная погрешность: Е ≤ 5% в условиях учебной лаборатории.

в) Обработка результатов косвенных измерений.

Если величину у измеряют косвенным методом, т.е. она является функцией п независимых величин х₁, х₂, …, х_п: у = f(х₁, х₂, …, х_п), а значит . Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

,

где частные производные вычисляются для средних значений вычисляется по формуле средней квадратичной ошибки для непосредственного измерения. Доверительная вероятность для всех погрешностей, связанных с аргументами х_i функции у задается одинаковый (Р = 0,95), такой же она задается и для у. Абсолютная погрешность среднего значения определяется по формуле: . Тогда или . Относительная погрешность будет равна Е = ≤5%.