4. Связь между определенным и неопределенным интегралами.

а) Формула Ньютона-Лейбница.

Несмотря на то, что неопределенный интеграл есть совокупность первообразных, а определенный интеграл есть число, все же между ними имеется определенная связь, впервые установленная Ньютоном и Лейбницем в виде формулы Ньютона-Лейбница. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

= F(в) - F(а).

Рассмотрим пример нахождения определенного интеграла. Пусть нам необходимо найти определенный интеграл вида:

= .

Нахождение определенного интеграла сводится к следующим операциям:

1. находят первообразную для данной подинтегральной функции;

2. вычисляются первообразные для данных частных значений верхнего и нижнего пределов интегрирования;

3. находят разность частных значений первообразной F(в) – F(а).

б) Применение метода замены переменной интегрирования при вычислении определенного интеграла.

При использовании метода замены переменной для вычисления определенного интеграла вводится новая переменная, с помощью которой интеграл сводится к табличному. Одновременно заменяют пределы интегрирования. Рассмотрим эти операции на отдельном примере: ; 1) sin x = t; 2) d(sinx) = dt; cosxdx = dt;

3) а = sin0 = 0; в = sin ;

4) = = е¹ – е⁰ =2,7 –1 =1,7.

5. Дифференциальное уравнение.

а) Общее понятие и определение.

Многие вопросы естествознания, техники и различных отраслей науки сводятся к нахождению неизвестной функции, если известно уравнение, содержащее х,у и производные различных порядков функции f(х): f '(х); f "(х); f "'(х); …; f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы df; d²f; d³f; …; dⁿf. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ). В общем виде ДУ можно записать так: F(х,у,у',у",…,у^(п)) = 0.

Для функции у = f(х) одного аргумента дифференциальные уравнения называются обыкновенными; для функции и =f(х,у,z, …,t) нескольких переменных (двух и более) уравнения называются дифференциальными в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной или дифференциала. Например, у' = 2х² у + 5 – уравнение 1-го порядка,

а у" + у' = 0 - уравнение второго порядка.

Общим решением ДУ к-го порядка называется функция у = f(х,с₁,с₂, …,с_к) от х с произвольными постоянными с₁,с₂, …,с_к , обращающая это уравнение в тождество.

При конкретном значении произвольных постоянных получают частное решение из общего. При этом задаются не сами постоянные, а условие, которому должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и кратко записывается так: при х = х_о; f(х_о) = у_о; f '(х_о) = у'_о и т.д. Задача нахождения частного решения удовлетворяющего его начальным условиям, называется задачей Коши.

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида: f₁(x)φ₁(y)dx + f₂(x)φ₂(y)dy = 0 называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Суть такого разделения сводится к тому, чтобы путем некоторых математических операций, произвести группировку переменных, производных, дифференциалов в отдельные слагаемые так, чтобы, они содержали только один вид переменных. Слагаемые, включающие только одну переменную, можно получить, если ДУ разделить на f₂(x)φ₂(y). Тогда получим: .

Интегрируя это уравнение, мы получим общее решение дифференциального уравнения в виде: . Это выражение является общим решением приведенного уравнения.

Пример: 1) у' = 2ху; = 2ху; = 2хdx; ; ln y = x² + C;

ln y = ln e^x + ln C; ; у = с · e^x - общее решение. При начальных условиях х =0, у = 2; с =2; у = 2 e^x - частное решение.

2) у' = 4х³ (при х =0, у =0). ∫dy = 4∫x³dx; y = x⁴ + c; y = x⁴.