4. Общее уравнение переноса. Диффузия. Уравнение Фика.

Важным элементом функционирования мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы (атомы) и ионы.

Проницаемость обусловлена целым рядом важных физических явлений и, в частности, переносом молекулами веществ (в процессе движения) своих физических характеристик: массы, энергии, импульса и т.д. Механизм переноса всех этих характеристик одинаков и все явления, связанные с их переносом, объединены общим названием явления переноса. Исходя из представлений молекулярно-кинетической теории, выведем общее для явлений переноса уравнение переноса (на примере газа). С этой целью определим прежде всего количество молекул, переходящих за промежуток времени ∆t через некоторую воображаемую площадку ∆S, помещенную в газе. Ось ОX ориентирована перпендикулярно ∆S (рис.5). Через площадку проходит 1/3 всех молекул, движущихся вдоль ОX (1/6 – слева направо; 1/6 - справа налево). Слева направо за 1 секунду пройдет через S 1/6 всех молекул, находящихся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием S и высотой, равной средней скорости движения молекул , т.е. 1/6ΔS n₀, где n₀ - число молекул в единице объема. За время t пройдет:

. (1)

Эти молекулы переносят через площадку свои физические характеристики.

Рассмотрим общий механизм переноса, не конкретизируя, какую именно величину переносят молекулы и обозначим ее через . Тогда количество физической характеристики, перенесенное молекулами в одном направлении через площадку S за t:

. (2)

Очевидно, что такое количество будет перенесено и в обратном направлении.

Предположим теперь, что рассматриваемый газ неоднороден по своим свойствам, т.е. у него различная концентрация в различных местах и сами молекулы имеют неодинаковое значение . Тогда количество физической величины, содержащейся в единице объема, также будет различно в разных местах. Пусть количество (n₀) убывает в положительном направлении OX, будучи равным (n₀ )₁ слева от площадки ΔS и (n₀ )₂ - справа от нее (рис.6). В этом случае имеет место перенос физической величины (Nφ) через площадку ΔS слева направо, он равен:

. (3)

Т еперь остаётся только выяснить, на каком расстоянии от ΔS следует взять значение . Обмен значениями и изменение концентрации n₀ происходит только при взаимостолкновениях молекул, т.е. на расстоянии (средняя длина свободного пробега). Можно полагать, что сохраняется неизменным на расстоянии слева и справа от площадки. На этих расстояниях будем брать значение . Умножив и разделив на правую часть формулы (3), получим:

. (4)

Величину - называют градиентом , т.е.

. (5)

Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту ( направлен справа налево, а перенос - слева направо).

Выражение (5) называют уравнением переноса. На его основании рассмотрим конкретное явление переноса - диффузию, имеющую важное значение для проницаемости веществ в живых системах. Пусть плотность газа убывает в направлении оси ОX: - плотности на расстоянии влево и справо от ΔS: (рис. 7). Так как , где m - масса молекулы, то n₀₁>n₀₂.

У читывая в уравнении (5), что переносимой величиной будет масса молекулы, т.е. , получим: ; ,

где ΔМ - масса газа, переносимая путем диффузии за время Δt через площадку ΔS, перпендикулярную направлению убывания плотности. Тогда: . Обозначим и запишем: , где D - коэффициент диффузии, размерность которого [м²/с]. Откуда следует, что масса газа ΔМ, переносимая благодаря диффузии через площадку ΔS, перпендикулярную оси Ох, в направлении которой убывает плотность, пропорциональна площади этой площадки, промежутку времени Δt и градиенту плотности Δρ/Δx (уравнение диффузии, закон Фика).

Уравнение Фика может быть записано через плотность потока вещества: , ; где - градиент концентрации.