5. Функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы.

Большинство процессов, явлений в окружающем нас мире определяются не одной независимой переменной, а несколькими, функционально связанными между собой. Для изучения подобных зависимостей введено понятие функции нескольких аргументов. Например, S=ав (площадь); V=авс (объем), PV=RT; P=R или S=f(а,в); V=f(а,в,c); P=f (T,V).

В этих случаях часто возникает необходимость определить скорость указанных процессов и другие физические характеристики.

Для функции двух или нескольких переменных рассматриваются вместо обычных производных – частные производные. Пусть дана некоторая функция двух аргументов z=f(х,у). Если мы дадим приращение только одному аргументу, например х, а второй аргумент y зафиксируем, то можно получить частное приращение функции по этому аргументу ∆_хf(х,у) = f(х+∆х,у)-f(х,у). Аналогично разность ∆_уf(х,у)= f(х,у+∆у)-f(х,у) называется частным приращением функции z=f(х,у) по аргументу у.

Частной производной функции двух независимых переменных z=f(х,у) называется производная, взятая по одному из аргументов, а второй аргумент при этом считается постоянным. Например, частная производная функции z=f(х,у) по аргументу х называется предел = , если он существует_. Частные производные по аргументам х и у обозначаются следующим образом: z'_х; z'_у; f_х(х,у); f_у(х,у); ; ; ; . Частные производные I-го порядка функции z=f(х,у) также являются функциями аргументов х и у. Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка искомой функции z=f(х,у). Для этой функции можно определить четыре частные производные 2-го порядка:

= ; = ; = ; . Частные производные и отличаются порядком дифференцирования и называются смешанными частными производными второго порядка.

По аналогии с дифференциалом функции одной независимой переменной частные дифференциалы функции по х и по у будут равны:

d_xz = dx; d_yz = dy.

Полный дифференциал функции двух независимых переменных будет равен сумме частных дифференциалов: dz = d_xz + d_yz = dx + dy.

Полный дифференциал функции двух независимых переменных является главной частью полного приращения и может быть использован для приближенных расчетов полного приращения функции z=f(х,у), т.е. ∆f ≈ df;

∆z = ∆f ≈ dx + dy.

Абсолютная величина полного приращения функции при расчете погрешности измерения называется её абсолютной ошибкой. Если заменить полное приращение функции дифференциалом, то её абсолютная ошибка рассчитывается по приведенной формуле полного дифференциала.

Объем цилиндра определяется по формуле V=πR²h, т.е. V=f(R,h). Необходимо определить приращение объема, если R и h получают приращения ∆h и ∆R. В этом случае: ∆V = dV = + , где dR = ∆R, а dh = ∆h.

Пример: Найти частные производные и полный дифференциал функции: Z = 3х³у² + х²у² + у⁴

= (3х³у² + х²у² + у⁴)'_х = 9х²у² +2ху²; (у = соnst);

= (3х³у² + х²у² + у⁴)'_у = 6х³у +2х²у+4у³; (х = соnst);

dz = d_xz +d_yz = dx+ dy = (9х²у² +2ху²)dx+(6х³у+2х²у+4у³)dy.

ЛЕКЦИЯ №2

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1. Неопределенный интеграл и его свойства.

Многочисленные математические операции образуют пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование. Дифференциальное исчисление решает следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Обратным действием дифференцирования является интегрирование: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), производная которой равнялась бы заданной функции f(х), т.е.

F'(х) = f(х) (1)

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей форме: для данной функции f(х) найти такую функцию F(х), дифференциал которой равнялся бы выражению f(х)dх:

dF(х) = f(х)dх (2)

Функция F(х), связанная с функцией f(х) соотношение (1) или (2), называется ее первообразной.

Так, например, первообразной от функции f(х)=х² будет функция F(х)=х³∕3, так как F'(х) = (х³∕3)' = х² или то же самое dF = d(х³∕3) = х² dх.

В общем случае, если f(х) имеет первообразную функцию F(х), то совокупность [F(х)+С] также будет первообразной для нее, т.к. С' = 0 (С – постоянная величина). Следовательно, для данной функции f(х) может быть не одна, а множество первообразных [F(х)+С], отличающихся на некоторую постоянную интегрирования.

Совокупность первообразных [F(х)+С] для данной функции f(х) или данного дифференциала f(х) dх. называют неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначают ∫f(х)dх. По определению

∫f(х)dх=[F(х)+С] (3)

- читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс», где f(х) dх – подинтегральное выражение; f(х) – подинтегральная функция; С – постоянная интегрирования; символ ∫ - знак неопределенного интеграла. Под знаком неопределенного интеграла мы имеем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Так как, например, функция F(х)=х³∕3 является одной из первообразных от функции f(х)=х², то на основании формулы (3) получим ∫ х² dх = х³∕3 + С.

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: [∫f(х) dх]' = [F(х) + С]' = F'(х) = f(х).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: d[∫f(х) dх] =d [F(х) + С] = [F(х) + C]'dх= F'(х) dх= f(х) dх.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной: ∫d [F(х) + С] = ∫d F(х) = ∫f(х) dх = F(х + C).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: ∫кf(х) dх = к ∫f(х) dх.

5. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т.е.:

∫[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = ∫f₁(х) dх + ∫f₂(х) dх - ∫f₃(х) dх.

Пример:

Найти ∫(х³+3sin х–8)dх = ∫х³dх+3∫sin хdх-8∫dх = х⁴/4–3cos х–8х+С.

Используя формулы интегрирования для трех интегралов, при каждом интегрировании получим свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге мы имеем только одну произвольную постоянную, так как, если С₁; С₂;С₃ – произвольные постоянные, то и величина С равная их алгебраической сумме, также является произвольной постоянной.