2. Уравнение Бернулли и его следствия.

Одно из наиболее важных уравнений, используемых для описания движущихся жидкостей, было впервые получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли (1700-1782 г.г.). Для вывода уравнения Бернулли предположил, что имеем дело с идеальной жидкостью. Это значит, что мы пренебрегаем любыми силами вязкого сопротивления и трения. Пусть жидкость течет совершенно плавно без каких-либо турбулентностей, т.е. течение жидкости стационарное. Более того, мы рассматриваем только несжимаемые жидкости, так что определенная масса жидкости будет занимать одинаковый объем, несмотря на положение или условия в потоке.

У равнение Бернулли можно вывести, используя закон сохранения энергии при протекании жидкости через трубу. Как показано на рис.2, трубка тока имеет различные площади поперечного сечения и различную высоту над некоторым исходным уровнем. Если совершить некоторую работу А над жидкостью, это вызовет изменение потенциальной и кинетической энергии жидкости: А =  Е_п +  Е_к (2). Выделим в трубке тока достаточно малый объем жидкости V массой m. Мы совершаем работу, действуя силой F₁ на количество жидкости в положении 1(рис.2) и перемещая каждый малый элемент этого объема на величину единичного перемещения l₁ с постоянной скоростью ₁ . Так, объем V₁ =l₁S₁ перемещен на расстояние l₁ и проделанная над жидкостью работа равна F₁l₁. Каково влияние этого перемещения на жидкость, находящуюся в положении 2? Поскольку жидкость несжимаема, перемещение объема l₁S₁ на расстояние l₁ в положении 1 означает перемещение равного объема в положении 2. Поэтому количество жидкости с площадью поперечного сечения S₂ смещается на расстояние l₂ c постоянной скоростью ₂, где S₁l₁ = S₂l₂. Объем жидкости в положении 2 движется вдоль трубы, толкая следующие слои жидкости. Сила F₂ действует на объём при перемещении l₂, поэтому работа, совершаемая этим объемом жидкости, равна F₂l₂. Результирующая работа сил, оказывающих давление p₁ и p₂ на торцы объемов 1 и 2 при их перемещении - А = F₁l₁ – F₂l₂ , т.к. силы со стороны соседних трубок тока нормальны к поверхности рассматриваемой трубки тока (идеальная жидкость), то они работы не совершают.

Записывая каждую силу как произведение давления на площадь поперечного сечения, имеем:

A = F₁l₁ – F₂l₂ = p₁S₁l₁ – p₂ S₂l₂ = (p₁ – p₂)V, (3)

где V = V₁ = S₁l₁= S₂l₂ = V₂.

Масса V жидкости под давлением p₁, двигаясь с постоянной скоростью ₁ на высоте h₁, преобразуется в равную массу жидкости под давлением p₂, движущуюся со скоростью ₂ на высоте h₂. Тогда изменения в потенциальной и кинетической энергиях между положениями 1 и 2 равны:

Е_n = (mgh) = mg h = Vg(h₂ – h₁), (4а)

Е_к = ( m²) = m(²) = V( ), (4б)

где мы выразили массу каждого объема жидкости как m =ΔV.

Подставляя (3), (4а) и (4б) в (2), находим:

(р₁-р₂) V = Vg(h₂-h₁) + V( ).

Наконец, разделив на V и перегруппировав члены, получаем:

р₁+gh₁+  = p₂+gh₂+  .

Поскольку положения 1 и 2 произвольны, величина p+gh+ ² определена в любой точке и всегда одинакова:

p+gh+ ²=const. (5)

Это и есть уравнение Бернулли, которое может быть отнесено не только к сечениям трубки, но и к точкам, расположенным вдоль некоторой линии тока. Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли, имеют размерность и смысл давления. Давление p называют статическим: оно не связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром, перемещающимся вместе с жидкостью. Давление ² называют динамическим: оно обусловлено движением жидкости и проявляется при ее торможении. Давление gh – гидростатическое (весовое). В состоянии невесомости гидростатическое давление отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает. В этих терминах уравнение Бернулли можно сформулировать как закон: при стационарном течении идеальной жидкости сумма статического, динамического и гидростатического давлений одинакова в различных точках линии тока, в любом поперечном сечении потока.

Для горизонтальной трубки тока гидростатическое давление остается постоянным (т.к. h = const) и может быть отнесено в правую часть уравнения (5), которое в этом случае можно записать так:

р_ст+р_дин=const.

Статическое давление обуславливает потенциальную энергию жидкости (энергия давления), динамическое давление – кинетическую. Из последнего уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли:

статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается и наоборот.

Уравнение Бернулли, полученное для идеального случая, можно использовать и для объяснения реальных примеров.

Н а рис. 3 монометрические трубки 1 и 3 демонстрируют величину статического давления в разных сечениях горизонтальной трубки. Так как нижнее сечение этих трубок параллельно линиям тока, то динамического давления они не показывают. Оно определяется по разности между полным давлением p_полн и статическим: p_дин = p_полн – p_ст . Для измерения полного давления используется трубка 2, изогнутая под прямым углом к потоку (рис.3). Здесь S₂<S₁, ₂>₁ и p₂<p₁. Сечение трубки S₂ можно сделать столь узким, что вследствие малого статического давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость (всасывающее действие струи). Это используется в водоструйных насосах, медицинских ингаляторах, в пульверизаторах.