2. Незатухающие гармонические колебания.

Пусть на тело массой m действует сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия (возвращающая сила) и пропорциональная смещению от положения равновесия, т.е. сила упругости F_УПР= -kX . Если трение отсутствует, тогда уравнение второго закона Ньютона для тела имеет вид:

; или .

Обозначим , получим . (1)

Уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка, с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (1) будет законом свободных или собственных незатухающих колебаний:

,

где A – величина наибольшего отклонения от положения равновесия, которая называется амплитудой (амплитуда – постоянная, положительная величина); - фаза колебаний; - начальная фаза.

Г рафически незатухающие колебания представлены на рис.2:

Т – период колебания (промежуток времени одного полного колебания); , где - круговая или циклическая частота, , ν называется частотой колебания.

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения для смещения:

,

где - максимальная скорость (амплитуда скорости). Продифференцировав это выражение, найдём ускорение:

,

где - максимальное ускорение.

3. Затухающие гармонические колебания.

В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колеблющейся системе будет действовать сила трения (сила сопротивления среды), которая при небольших скоростях пропорциональна скорости движения тела: , где r – коэффициент сопротивления. Если ограничиться учётом возвращающей силы и силы трения, то уравнение движения примет вид: или , разделив на m, получим: , обозначив , , получим: . Это уравнение носит название линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения будет законом свободных затухающих колебаний, и будет иметь следующий вид: .

Из уравнения видно, что амплитуда не является постоянной, а зависит от времени и убывает по экспоненциальному закону. Как и для незатухающих колебаний, величина ω – называется круговой частотой: , где - коэффициент затухания;

-начальная фаза.

Графически затухающие колебания представлены на рис.3.

О пределим период колебаний или , откуда видно, что колебания в системе могут возникать только при условии если сопротивление незначительно . Период колебаний практически равен .

С ростом коэффициента затухания, период колебаний увеличивается и при обращается в бесконечность. Движение перестаёт быть периодическим. Выведенная из положения равновесия система возвращается в состояние равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим.

Н а рис.4 показан один из случаев возвращения системы в положение равновесия при апериодическом движении. В соответствии с указанной кривой спадает заряд на мембранах нервных волокон человека.

Для характеристики скорости затухания колебаний вводится понятие коэффициента затухания . Найдём время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз:

, т.е.

откуда βτ=1, следовательно . Коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшится в e раз. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, равное называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

.