2. Основные законы динамики вращательного движения.

Вращение тела вокруг оси вызывается силой F, приложенной к любой точке тела, действующей в плоскости перпендикулярной оси вращения и направленной (или имеющей составляющую в этом направлении) перпендикулярно радиусу вектору точки приложения (рис.1).

Моментом силы относительно центра вращения называют векторную величину, численно равную произведению силы на длину перпендикуляра d, опущенного из центра вращения на направление силы, называемого плечом силы. На рис.1 d=R, поэтому

. (8)

Момент вращающей силы является векторной величиной. Вектор приложен к центру окружности О и направлен вдоль оси вращения. Направление вектора согласуется с направлением силы по правилу правого винта. Элементарная работа dA_i, при повороте на малый угол dφ, когда тело проходит малый путь dS, равна:

. (9)

Мерой инертности тела при поступательном движении является масса. При вращении тела мера его инертности характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции I_i материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния её от оси (рис.2):

. (10)

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

. (11)

Или в пределе (n→∞): , (12)

г де интегрирование производится по всему объёму V. Подобным образом вычисляются моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы. Момент инерции выражается в кг·м².

Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, проходящей через центр масс (центр масс человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестового позвонка), в зависимости от положения человека имеет следующие значения: 1,2 кг·м² при стойке «смирно»; 17 кг·м² – в горизонтальном положении.

При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела:

. (14)

Продифференцировав (14), получим элементарное изменение кинетической энергии:

. (15)

Приравняв элементарную работу (формула 9) внешних сил к элементарному изменению кинетической энергии (формула 15), получим: , откуда: или, учитывая, что получим: . (16)

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Эта зависимость аналогична II закону Ньютона для поступательного движения.

Моментом импульса L_i материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению импульса точки на расстояние её до оси вращения:

. (17)

Момент импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

. (18)

Момент импульса есть векторная величина, ориентированная по направлению вектора угловой скорости.

Теперь возвратимся к основному уравнению (16):

, .

Подведём постоянную величину I под знак дифференциала и получим: , (19)

где Mdt называют импульсом момента силы. Если на тело не действуют внешние силы (М=0), то равно нулю и изменение момента количества движения (dL=0). Это означает, что момент импульса остаётся постоянным: . (20)

Этот вывод называется законом сохранения момента импульса относительно оси вращения. Его используют, например, при вращательных движениях относительно свободной оси в спорте, например в акробатике и т.д. Так, фигурист на льду, изменяя в процессе вращения положение тела и соответственно момент инерции относительно оси вращения, может регулировать свою скорость вращения.